第四讲 二次函数（典例精讲）-备考2023年中考数学典型例题《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（全国通用）

2023年中考数学典型例题系列之 函数篇 第四讲二次函数（原卷版） 一、二次函数的定义。 一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数。 注意：二次项系数，而b，c可以为零。 二、二次函数四种基本形式的图像性质。 二次函数的基本表现形式： ①；②；③；④；⑤. 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 第一种：二次函数的性质（最基础）。 第二种：二次函数的性质。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 第三种：二次函数的性质。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值。 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 第四种：二次函数的性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 三、二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质。 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 四、二次函数的平移。 步骤： （1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k）； （2）从函数y=ax²平移方法如下：“左加右减，上加下减”。 平移前 平移方向（m＞0) 平移后 口诀 y=a(x-h)²+k 向左平移m个单位 “左加右减” “上加下减” 向右平移m个单位 向上平移m个单位 向下平移m个单位 五、二次函数图像与系数a、b、c的关系。 1.根据a、b、c的正负数判断二次函数图像。 二次项系数a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当时，抛物线开口向上 当时，抛物线开口向下 一次项系数b 决定对称轴的位置 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴。（同左异右 b为对称轴为y轴） 常数项系数c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当时，抛物线与轴的交点在轴上方 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点 当时，抛物线与轴的交点在轴下方 b2-4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点； 2.根据二次函数图像判断a、b、c关系式与0的关系。 关系式 实质 2a+b 实质式结合a的正负比较与1关系 2a+b 实质式结合a的正负比较与-1关系 a+b+c 实质是令x=1，看纵坐标正负 a-b+c 实质是令x=-1，看纵坐标正负 4a+2b+c 实质是令x=2，看纵坐标正负 4a-2b+c 实质是令x=-2，看纵坐标正负 六、二次函数与一元二次方程的关系。 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况，图象与轴的交点个数： ① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根。 ② 当时，图象与轴只有一个交点； ③ 当时，图象与轴没有交点。 A：当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； B：当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 七、待定系数法求二次函数的解析式。 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路： ①一般式：当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数解析式为 ②顶点式：当已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最大（小）值 时，可设函数解析式为 2； ③交点式：当已知抛物线与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0）时，可设函数解析式为） 【考点一】二次函数的图像和性质。 【典型例题1】 （2022·湖南郴州·统考中考真题）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下