大题强化训练（12）-2023届高三数学高考复习大题强化训练（新高考地区专用）

2023届大题强化训练(12) 1.记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析(2)14 【解析】（1）证明：因为， 所以， 所以， 即， 所以； （2）解：因为， 由（1）得， 由余弦定理可得， 则， 所以， 故， 所以， 所以的周长为. 2.在①；②；③，，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 已知正项数列前n项和为，且______， （1）求数列的通项公式； （2）设，若数列满足，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】（1）选择条件①，因为，所以， 因为，所以，则， 当时，， 所以两式相减得：，即，则， 当时，，所以符合上式， 所以； 选择条件②，因为， 当时，， 所以两式相减得：，整理得， 因为，所以， 当时，，所以或（舍）， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则； 选择条件③，因为，所以， 累乘得：，， 所以，，又符合式子，所以，， 当时，， 所以两式相减得：，即， 又符合上式，所以； （2）由（1）得：，则， 所以 . 3.2020年将全面建成小康社会，是党向人民作出庄严承诺．目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为．用分层抽样的方法，收集了100户家庭2019年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区． （1）完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9％的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关． 超过1.5万元 不超过1.5万元 总计 平原地区 山区 10 总计 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 （2）根据这100个样本数据，将频率视为概率．为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从2020年9月到12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过1.5万元的家庭中选取4户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）列联表见解析，有99.9％的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关； （2）分布列见解析，数学期望. 【解析】（1）由频率分布直方图可知，收入超过1.5万元的家庭的频率为， 所以收入超过1.5万元的家庭的户数有户， 又因为平原地区家庭与山区家庭的户数之比为，抽取了100户， 故平原地区的共有60户，山区地区的共有40户， 又样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区， 所以超过1.5万元的有40户居住在平原地区，不超过1.5万元的有20户住在平原地区，有30户住在山区地区， 故2019年家庭年收入与地区的列联表如下： 超过1.5万元 不超过1.5万元 总计 平原地区 40 20 60 山区 10 30 40 总计 50 50 100 则 ， 所以有99.9％的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关． （2）由（1）可知，选1户家庭在平原的概率为，山区的概率为， X的可能取值为0，1，2，3，4， 所以， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 因为X服从二项分布， 所以X的数学期望． 4.如图矩形中，，沿对角线将折起，使点A折到点P位置，若，三棱锥的外接球表面积为． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）M为的中点，点N在边界及内部运动，若直线与直线与平面所成角相等，求点N轨迹的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】（1）证明：设O为矩形对角线的中点， ∴． 即． ∴O为三棱锥外接球的球心． 又∵三棱锥外接球表面积为， ∴外接球半径为2． 即． 过P点作，垂足为E，过点C作，垂足为F， 则，，，， ∴ 而， 在中，满足 ∴为直角三角形， ∵，， ∴平面． 又∵平面， ∴平面平面． （2）以E为坐标原点，所在直线分别为x轴、z轴，以平面内过E且垂直于的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 可知： 且 设平面的法向量为， 得，取，则， 设平面的法向量为， 得，取，则 设平面与平面夹角为， 则 所以平面与平面夹角余弦值为是． （3）由（2）中空间直角坐标系可设N为，，， ， 取平面法向量为． ∵直线与直线与平面所成角相等， ∴ 得： 整理得：，即 ∵N点在边及其内部， ∴N的轨迹为圆落在边及内部的部分． ∴轨迹长度为半径为1的圆周长为．