2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--二次函数与一元二次方程

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--二次函数与一元二次方程 1．已知点 在抛物线 上，直线 过点A． （1）当 时，求b的值； （2）若抛物线C与直线L有且只有一个交点． ①求m关于a的关系式； ②点B为直线L与抛物线C的对称轴的交点，求线段AB长的取值范围． 2．飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是：S=60t﹣1.5t2 （1）直接指出飞机着陆时的速度； （2）直接指出t的取值范围； （3）画出函数S的图象并指出飞机着陆后滑行多远才能停下来？ 3．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）． （1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围； （3）当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围． 4．设 为常数，已知二次函数 . （1）求证：无论 为何值，该二次函数的图象与 轴一定有两个不同的交点； （2）若把二次函数的图象沿 轴方向平移 个单位长度，则使得该二次函数的图象与 轴恰有一个公共点，求 的值. 5．已知抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A(-3，0)，B两点，交y轴于点C。 （1）求该抛物线的表达式； （2）求△ABC的面积。 6．南浔区某校增设拓展课程之“开心农场”，如图，准备利用现成的一堵“ ”字形的墙面（粗线 表示墙面，已知 ， 米， 米）和总长为11米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场 （细线表示篱笆，小型农场中间 也是用篱笆隔开），点 可能在线段 上（如图1），也可能在线段 的延长线上（如图2），点 在线段 的延长线上. （1）当点 在线段 上时， ①设 的长为 米，则 ▲ 米（用含 的代数式表示）； ②若要求所围成的小型农场 的面积为9平方米，求 的长； （2） 的长为多少米时，小型农场 的面积最大？最大面积为多少平方米？ 7．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为批物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系。 （1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进；在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后水热水柱的最大高度。 8．如果关于x的一元二次方程 （a≠0）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.例如，方程 的两个根是2和4，则方程 就是“倍根方程”. （1）若一元二次方程 是“倍根方程”，则c=　 　 （2）若方程 （a≠0）是倍根方程，且相异两点M(1+t，s)，N(4-t，s)，都在抛物线 上，求一元二次方程 （a≠0）的根. 9．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 和点 ，顶点坐标记为 .抛物线 的顶点坐标记为 . （1）写出 点坐标； （2）求 ， 的值（用含 的代数式表示）； （3）当 时，探究 与 的大小关系； （4）经过点 和点 的直线与抛物线 ， 的公共点恰好为3个不同点时，求 的值. 10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点为Q，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标； （2）在该抛物线上求一点P，使得S△PAB=S△ABC，求出点P的坐标： （3）若点D是第一象限抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴，垂足为E．有一个同学说：“在第一象限抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q与x轴相距最远，所以当点D运动至点Q时，折线D﹣E﹣O的长度最长．”这个同学的说法正确吗？请说明理由． 11．在直角坐标系中，点A（1，m）和点B（3，n）在二次函数y=ax2+bx+1（a#0）的图象上． （1）若m=1，n=4，求二次函数的表达式及图象的对称轴． （2）若m-n= ，试说明二次函数的图象与x轴必有交点． （3）若点C（x0，y0）是二次函数图象上的任意一点，且满足y0≤m，求mn的取值范围． 12．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，且 ，连接 ，直线