湖南省长沙市麓山国际实验学校2022-2023学年高二下学期入学考试数学试题

2022-2023-2麓山国际高二年级春季入学检测 数 学 总分：150分 时量：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列向量中与相等的向量是( ) A. B. C. D. 2.如图，直线和圆，当从开始在平面上绕点按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过)时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 3.展开式中的系数为( ) A. B. C. D. 4.位于坐标原点的一个支点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点移动次后位于点的概率为( ) A. B. C. D. 5.袋子中有大小形状完全相同的个黑球，个白球，现从袋子中有放回地随机取球次，取到白球记分，黑球记分，记次取球的总分数为，则( ) A. B. C. D. 6.已知数列是递增数列，且，，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 7.已知点是椭圆上一点，且在轴上方，，分别为椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则的面积为( ) A. B. C. D. 8.已知，，，则( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.在的展开式中，下列说法正确的有( ) A.展开式中所有奇数项的二项式系数和为 B.展开式中所有项的系数和为 C.展开式中二项式系数的最大项为第五项 D.展开式中含项的系数为 10.已知曲线( ) A.若，则是椭圆，其焦点在轴上 B.若，则是圆，其半径为 C.若，则是双曲线，其渐近线方程为 D.若，，则是两条直线 11.如图，四边形为正方形，平面，，.记三棱锥，，的体积分别为，，，则( ) A. B. C. D. 12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为，，…，，且，，定义的信息熵( ) A.若，则 B.若，则随着的增大而增大 C.若，则随着的增大而增大 D.若，随机变量所有可能的取值为，，…，，且，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.二面角的棱上有两个点、，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱，若，，，，则平面与平面的夹角为________. 14.如图，用种不同颜色给图中的、、、四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有________种. 15.已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点.若，则的离心率为________. 16.在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是颗珠宝，第二件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第三件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第四件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第五件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第件首饰上应有________颗珠宝；则第件首饰所用珠宝总数为________颗.(结果用表示) 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在某地区进行流行病学调查，随机调查了位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患者的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到). 18.已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线：与圆交于，两点，求弦的最短长度. 19.已知公差为的等差数列和公比的等比数列，其中，，. (1)求数列和的通项公式； (2)令，抽去数列的第项、第项、第项、…、第项、…，余下的项的顺序不变，构成一个新的数列.求数列的前项和. 20.如图，四棱锥的底面为正方形，底面.设平面与平面的交线为. (1)证明：平面； (2)已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值. 21.汽车前照灯主要由光源、反射镜、配光片三部分组成，其中经过光源和反射镜顶点的剖面轮廓为抛物线，而光源恰好位于抛物线的焦点处，这样光源发出的每一束光线经反射镜反射后均可沿与抛物线对称轴