2023年印度国家数学奥林匹克试题

2023印度国家数学奥林匹克 1、 设S为有限正整数集，假设集合S×S中恰有2023个有序正整对 (x，y)，使得xy为完全平方数。求证：一定可以找到S中至少四个互异的元素，便得他们两两的乘积均不为完全平方数。 2、设ao，……a100为正实数，对任意k∈{0,1,...，100}，考虑下面的多项式： a100+kx100 + 100a99+kx99 +a98+kx98 +a97+kx97 +…+ a2+kx2+aI+kx + ak,其中下标按模101计，即a100+i=ai-1.求证：这101个多项式所有的根不可能均为实数。 3、设N*表示正整数集合.求所有实数c，使得存在一个函数f：N*→N*”，满足： （1） 对任意x,a ∈N，当且仅当a=1时，为整数； （2） 对任意x∈N*，均有|f(x)-cx|<2023。 4、设k≥1，N>1为两个正整数，在一个圆圈上，有2N+1个正面朝上的硬币，从甲先开始，甲乙两人轮流进行如下游戏： 在甲的回合中，他可以将任意一个正面朝上的硬币翻面，变成背面朝上； 在乙的回合中，若甲刚翻面的硬币相邻的硬币中有背面朝上的硬币，他可以将其中至多一枚甲刚翻面的硬币相邻的硬币中背面朝上的硬币翻面，变成正面朝上； 若某个乙的回合结束后，恰有k个硬币正面朝上，则甲获胜，求所有甲有必胜策略的k。 5、 在欧几里德几何平面中，欧拉标记了n个点。对任意两个标记过的点，高斯计算他们之间的距离d,并写下[log2d]。求证：高斯写下的互异的值不超过2n个 6、 欧几里得有一个作图工具cyclos，它可以进行如下操作： 对标记的三个点，cyclos可以作出过这三个点的圆； 对标记的两个点，cyclos可以作出以这两个点为直径的圆； 对给定的两个圆，cyclos可以标记这两个圆的交点； 对任意一个圆，cyclos可以在圆上随机标记一个点； 求证：对任意两个标记的点，欧几里得可以只用cyclos做出以其中一点为圆心，且过另一个点的圆. 学科网（北京）股份有限公司 $