第六章 3 三角形的中位线-【能力培养与提升】2022-2023学年八年级下册初二数学（北师大版）

平行四边形 第六章 自主导学 典例精析 例题 如图， 在 △ABC 中， AB=4，AC=3，AD， AE 分别是其角 平分线和中线， 过点 C 作 CG⊥AD 于点 F ， 交 AB 于点 G ， 连接 EF ， 求线段 EF 的长 . 【分析】 由已知可证得 △AGF 与 △ACF 全等， 进而得出 AG=AC ， GF=CF ， 所以 F 为 GC 的中点， 再由已知条件可得 EF 为 △CBG 的中 位线， 利用中位线的性质即可求出线段 EF 的长 ． 【解答】 ∵AD 是 △ABC 的角平分线， ∴∠GAF=∠CAF. ∵CG⊥AD ， ∴∠AFG=∠AFC=90°. 又 ∵AF=AF ， ∴△AGF≌△ACF ， ∴AG=AC=3 ， GF=CF. ∵AB=4 ， AC=3 ， ∴BG=1. ∵AE 是中线， ∴BE=CE ， ∴EF 为 △CBG 的中位线， ∴EF= 1 2 BG= 1 2 ． 【点拨】 本题考查了三角形全等的判定和性质、 三角形的中位线性质定理 ． 解题的关键是 证出 EF 是 △CBG 的中位线 . 类似于本例这类已知一边上的中点问题， 常用的解题策略是取 另一边的中点， 并连接两中点， 从而运用中位线定理证有关线段的倍分问题、 直线平行问题 以及角相等的问题 . 我们要明确三角形的中位线是解有关中点问题常用的辅助线 . 基础巩固 达标闯关 1． 如图， 在 荀ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O ， 点 E 是 AB 的中点， OE=3 cm ， 则 AD 的 长是 cm． 2. 如图， 在 △ABC 中， AB=AC=6 ， BC=8 ， AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D ， 点 E 为 AB 的 中点， 连接 DE ， 则 △BDE 的周长是 . 3. 如图， 在四边形 ABCD 中， P 是对角线 BD 的中点， E ， F 分别是 AB ， CD 的中点， AD=BC ， ∠PEF=18° ， 则 ∠PFE 的度数是 . 4. 如图， 吴伯伯家有一块等边三角形的空地 ABC ， 已知点 E ， F 分别是边 AB ， AC 的中 点， 量得 EF＝5 m ， 他想把四边形 BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡， 则需用篱笆的长是 （ ） A. 30 m B. 25 m C. 20 m D. 15 m 3 三角形的中位线 例题图 G A B ED C F A B F E C 第 4 题图 O A B D E C P A B D F E C 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 A B D E C 141 八年级下册 （北师大版）数学 5. 如图， 在 △ABC 中， BD ， CE 是 △ABC 的中线， BD 与 CE 相交于点 O ， 点 F ， G 分别是 BO ， CO 的中点， 连接 AO. 若 AO=6 cm ， BC=8 cm ， 则 四边形 DGFE 的周长是 （ ） A. 14 cm B. 18 cm C. 24 cm D. 28 cm 6. 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， 点 D ， E 分别为 AC ， AB 的中点， 点 F 在 BC 的 延长线上， 且 ∠CDF=∠A. 求证： 四边形 DECF 为平行四边形 ． 7. 如图， 在 荀ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O ， E ， F ， G ， H 分别是 AB ， AO ， DC ， OC 的中点 . 求证： ∠FEH=∠FGH. 能力提升 综合拓展 8. 如图， 在 △ABC 中， E ， F 分别是 AB ， BC 的中点， G ， H 把 AC 三等分， EG ， FH 的延 长线交于点 D ， 连接 AD ， CD ， BG ， BH. 求证： 四边形 BHDG 和 ABCD 都是平行四边形 . 9. 如图， 已知 △ABC ， AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D ， BC 的中点为 M ， ME∥AD ， 交 BA 的延长线于点 E ， 交 AC 于点 F． 求证： （ 1 ） AE=AF ； （ 2 ） BE= 1 2 （ AB+AC ） ． O G A B D F E C 第 5 题图 A B D F E C 第 6 题图 第 7 题图 O H G A B D F E C 第 9 题图 F M D C A B E H G A B D F E C 第 8 题图 142 平行四边形 第六章 10. 如图 1 ， BD ， CE 分别是 △ABC 的外角平分线， 过点 A 作 AF⊥BD ， AG⊥CE ， 垂足 分别为 F ， G ， 连接 FG ， 延长 AF ， AG 与直线 BC 相交， 可得结论： FG= 1 2 （ AB+BC+A