2022年江苏省南京大学基础学科拔尖人才培养计划科研训练营数学试题

2022年南京大学基础学科拔尖人才培养计划 科研训练营数学试题 本试卷5答题，满分100分，考试时间120分钟 1.（25分）设为非负整数，为正整数 （1）证明 （2）当时，证明： 2.（25分）已知是一个系数为有理数的多项式，而且对任意大于2022的正整数都是整数，求证：对于任意整数都是整数。 3.（25分）已知的三边长都是有理数，求证：对于任意的正整数都是有理数。 4.（15分）利用凸多面体的欧拉公式，证明：凸的正多面体的每个面积只可能是三角形，正方形或正五边形，并且其顶点数，边数和面数只有如下五种可能： 。 5.（10分）抛物线在点的曲率半径是多少？请给出理由（可用解析几何或物理的方式解释你的结果，不需要严格证明） 2022年南京大学基础学科拔尖人才培养计划 科研训练营数学试题解答 1.解：不妨设 ， 其中.注意到 则在区间上不可能恒正或恒负，则由零点存在性定理知：存在，使得，即 于是可得 （*） 所以在（*）式取，即得 在（*）式取，即得 注：本题实质上是考察了拉格朗日中值定理，当然用二项式展开也可得结论. 2.解：不妨设，且令，则由题意均为整数.对任意，我们记 不失一般性，我们令 从而，注意到 从而，又由于 从而，以此类推，可得 同时我们熟知对任意，有 这说明对任意整数都是整数，而 故也是整数. 3.解：设对应的三边长分别为.注意到有理数对四则运算封闭，由余弦定理 因为 由于故 即 4.解：注意到凸正多面体的每个顶点处至少有3条边，若凸正多面体的每个面为正边形，则其中。若不然设，则同一个顶点处的相邻两边夹角，而此时每个顶点处夹角和，这是不可能的，从而凸正多面体的每个面为只可能是正三角形，正方形或者正五边形。进一步我们考虑凸正多面体的每条边与两个面相接，每个面有条边，则有 ， 同时每条边与两个顶点相接，每个顶点处有 条边，则有 ， 即我们有 不妨设，由公式 即 而我们显然有，从而在中必有一个是3。经过简单讨论可得 于是对应的有 分别为正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体及正二十面体。 5.解：【解析几何法】不妨设点处的曲率圆方程为，由于抛物线是下凸的，我们只需考虑下班圆周.同时我们有 . 而我们注意到点曲率圆周应与抛物线在有相同的切线，同时凹凸程度相同.换句话说，就是两者在点的一阶导数和二阶导数都应该相等，故 即 容易得到 即抛物线在点处的曲率半径为 学科网（北京）股份有限公司 $