2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题

2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题 一、解答题 1．如图，在中，，，，D是边上一动点（不与点A、C重合），，垂足为E，交边于点F． (1)当点D是边中点时，求，的值； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当与相似时，求线段的长． 2．【温故知新】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点． (1)【问题发现】如图1，点为线段的黄金分割点，且，若，请直接写出的值是__________． (2)【问题探究】如图2，在中，，，，在上截取，再在上截取，则的值为__________． (3)【问题解决】如图3，用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕，试说明：是的黄金分割点． 3．定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． (1)如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，则长为_____，的度数为_____． (2)如图2，为等腰直角三角形，，，F是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角三角形（点A，F，E按顺时针排列），, ，交于点D，连接，．当时，求线段的长； (3)如图3，中，，，若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积． 4．【问题提出】如图1，在等边三角形内部有一点P，，，，求的度数． (1)【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ∵，，， ∴ ∴为 三角形 ∴的度数为 ． (2)【类比探究】如图2，在等边三角形ABC外部有一点P，若∠BPA＝30°，求证． (3)【联想拓展】如图3，在中，，．点P在直线上方且，，求的长． 5．已知正方形 和正方形 ，连接 交 于点 ，点 是 的中点，过点 作 于 ，，． (1)如图1，点 ，， 在同一直线上，点 在 边上，求 的长； (2)把正方形 绕着点逆时针旋转 ． ①如图2，当点落在上时，求的长； ②如图3，当时，求的长． 6．在中，点E为边上一动点，以为边在上方作等边． (1)如图1，与交于点P，连接，若，，，求的长： (2)如图2．当N与B重合时，在上取一点D，过点D作，连接，，过C作交于点H，若，求证：； (3)如图3，若，且，过点B作，I为射线上一动点，取中点M，连接，过点B作交于点K，连接，直接写出NK的最小值． 7．问题情境：如图1，在Rt△ABC和Rt△BEF中，∠ACB＝∠EFB＝90°，AC＝3，BC＝4，且M，N分别为AE，CF的中点． (1)猜想证明：如图2，将Rt△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，其他条件不变．试判断是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (2)解决问题：如图3，将图2中的Rt△BEF沿BF所在直线折叠得到Rt，连接，CF，并分别取它们的中点P，H，连接CP，FP，PH． ①试判断CP与FP之间的数量关系，并说明理由． ②若AB＝2，BC＝2BF，请直接写出PH的长． 8．【方法尝试】（1）如图1，矩形是矩形以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，分别是它们的对角线．则与数量关系________，位置关系________． 【类比迁移】（2）如图2，在和中，．将绕点A在平面内逆时针旋转，设旋转角为，连接．请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，过点A作，在射线上取一点D，连结，使得，请求写出线段的最大值． 9．如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM＋BN＝MN． 【实践探究】 (1)在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______． (2)如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长． 10．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究． (1)猜测探究：在△ABC中， AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB． ①如图1，若M是线段BC上的