2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（特殊四边形问题）

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（特殊四边形问题） 1．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点． (1)求k的值和抛物线的解析式； (2)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P和点N，且点P是线段上异于的动点． ①求面积最大值； ②若以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出m的值． 2．已知抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，将直线向上平移，得到过原点的直线．点是直线上任意一点． ①当点在抛物线的对称轴上时，连接，与轴交于点，求线段的长； ②如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点与点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知抛物线，与轴交于点，（在的左边），与轴交于点，点为抛物线上一个动点，横坐标为，点为抛物线上另一个动点，横坐标为． (1)直接写出点，，的坐标． (2)将抛物线上点与点之间的部分记作图像，当图像的函数值的取值满足，求出的取值范围． (3)当点在第一象限时，以，为邻边作平行四边形，四边形的面积记为，求出关于的函数表达式，并写出的取值范围． (4)当以点点为端点的线段与抛物线之间的部分（包括、）有交点时，直接写出的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，动点在原抛物线的对称轴上，点为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 5．如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，一次函数经过点B，C，点P是抛物线上的动点，过点P作轴，垂足为Q，交直线于点D． (1)求抛物线的解析式及点A的坐标； (2)当点P位于直线上方且面积最大时，求线段的长； (3)在平面直角坐标系中，以P，D，O，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点P的坐标． 6．如图，是一个仓库的横截面，截面的轮廓可以看成由一个矩形和抛物线的一部分组成，，，抛物线的顶点到的距离为．为了测算该仓库的储藏空间，小明以所在直线为轴，以抛物线的对称轴为轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，请继续解决下列问题： (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)若存放的货物横截面为正方形，并使得正方形的一边在上且面积最大，求此正方形的面积； (3)若存放的货物横截面为矩形，并使得矩形的一边在上且周长最大，求此矩形的周长． 7．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，M是该抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式和点M的坐标； (2)在抛物线上A，C两点之间的部分（不包含A，C两点），是否存在一点D，使得？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由； (3)若E是x轴上的一个动点，F为平面直角坐标系内的一点，当以A，C，E，F为顶点的四边形为菱形时，请求出满足条件的点E的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)如图，点为线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值． (3)动点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动，同时动点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动，在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线与轴交于A、两点（点A在点左边），与轴交于点．直线经过、两点，点是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线上的点的在下方运动时，求面积的最大值． (3)连接，把沿着轴翻折，使点落在的位置，四边形能否构成菱形，若能，求出点的坐标，如不能，请说明理由； 10．如图，抛物线与x轴交于，D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点，点E，P为抛物线的对称轴上的动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当最小时，求此时点E的坐标； (3)若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，其中，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P，Q为直线下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线于C点和D点