成对数据的统计问题-2023届高考数学二轮复习专题讲义

专题22 成对数据的统计问题 探究1：成对数据的分析 【典例剖析】 例1.(2022·浙江省模拟) 创新是民族的灵魂，某大型企业对其产品进行研发与创新，根据市场调研与模拟，得到研发投入亿元与研发创新的直接收益亿元的数据统计如下： 当时，建立了与的两个回归模型：模型①：；模型②：； 当时，确定与满足的线性回归方程为：． 根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的决定系数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测该企业对产品创新改造的投入为亿元时的直接收益． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 附：刻画回归效果的决定系数，，决定系数数值越大，说明拟合效果越好 为鼓励科技创新，当研发的投入不少于亿元时，国家给予公司补贴收益亿元，以回归方程为预测依据，比较研发改造投入亿元与亿元时公司实际收益的大小． 附：， 研发改造后，该公司产品的效率大幅提高，服从正态分布，公司对研发团队的奖励方案如下：若产品的效率不超过，不予奖励；若产品的效率超过但不超过，每件产品奖励万元；若产品的效率超过，每件产品奖励万元．求每件产品获得奖励的数学期望． 附：随机变量服从正态分布，则， 选题意图: 成对数据的统计相关性及一元线性回归模型，常以解答题的形式考查简单的实际问题，难度一般.试题具有图表丰富、数据与阅读信息量大的特点,考查数据分析、数学运算、数学建模等核心素养.例1综合考查模型的选择与应用及正态分布，对分析问题的能力、运算能力要求较高. 思维引导：第（1）问计算的值，选择合适的模型；第（2）问利用回归方程进行预测；第（3）问利用正态分布的特点求出奖励Y分别取0、2、5时的概率，从而求出. 【变式训练】 练1-1(2022·福建省模拟·多选) 某班级学生开展课外数学探究活动，将一杯冷水从冰箱中取出后静置，在的室温下测量水温单位：随时间单位：的变化关系，在测量了个数据后，根据这些实验数据得到如下的散点图： 现需要选择合适的回归方程进行回归分析，则根据散点图，合适的回归方程类型有(    ) A. B. C. D. 练1-2(2022·湖北省武汉市联考)年月日，全国教育大会在北京召开，习近平总书记在会上提出“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”某学校贯彻大会精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛． 赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度秒与训练天数天有关，经统计得到如下表数据： 天 秒 经研究发现，可用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过天训练后，加工完成一个模具的平均速度约为多少秒？ 小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，两人约定先胜局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，已知在前局中小明胜局，小红胜局．若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率，参考数据：其中 参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【规律方法】 1.判断相关关系的两种方法 ①散点图法：如果样本点的分布从整体上看大致在某一曲线附近，变量之间就有相关关系；如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系. ②决定系数法：利用决定系数判定，越趋近1，拟合效果越好，相关性越强. 2.求经验回归方程： ①利用公式求；利用求，写出经验回归方程. ②经验回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当越趋近于1时，两变量的线性相关性越强.或利用决定系数判断，越大，拟合效果越好. 3.非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程： ①若，设，则； ②若满足对数式：，设，则； ③若满足指数式：，两边取对数，设，则. 探究2：独立性检验 【典例剖析】 例2.(2022·湖北省联考) 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验研究人员将疫苗注射到只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示试验发现小白鼠体内产生抗体的共有只，其中该项指标值不小于的有只． 假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立． 填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于有关． 单位：只 指标值 抗体 小于 不小于 合计 有抗体 没有抗体 合计 为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的只小白鼠