专题02 排列与排列数（课件+讲义）-2022-2023学年高二数学新教材同步考点巩固与难点提升（人教A版2019选择性必修第三册）

专题02排列与排列数 复 习 概念复习 技巧复习 巩 固 考点一：排列的概念 考点二：排列的列举问题 考点三：简单的排列问题 考点四：排列数与排列数公式 考点五：利用排列数公式化简与证明 考点六：排列数公式的简单应用 提 升 难点一：文化素养泰勒展开式 难点二：元素“在”与“不在”问题 难点三：定序问题 难点四：复杂的排列数公式化简问题 难点五：综合排列问题 难点六：“相邻”与“不相邻”问题 小测 单选：共6题 多选：共2题 填空：共2题 解答：共3题 一、复习 【概念复习】 排列的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同. 排列数的定义： ①从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示. ②把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列. 排列数公式： (乘积式)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，n，m∈N*，m≤n. (阶乘式)A＝，n，m∈N*，m≤n. (3)性质：A＝n！，0！＝1. 【技巧复习】 1.判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑 （1）“取”检验取出的m个元素是否重复； （2）“排”检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序. 2.利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式. (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列. 3.完成一件事是否与“顺序”有关，首先判定该问题是否是排列.要想正确地表示排列问题的排列个数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么.利用树状图或计数原理求出排列总数. 4.排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行.应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用. 排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题.具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算. 5.对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法.对于情况较多的情形，则先进行分类，利用排列数计算，再借助加法(乘法)计数原理求解. 二、巩固 【考点一】排列的概念 【典例】判断下列问题是否为排列问题： (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互通信。 【解析】(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题。 (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题。 (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题。 (5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题。 (6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题。 所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题。 【变式】判断下列问题是否为排列问题 (1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ (2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1? 【解析】(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题。“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题。 (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题。 若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定； 在双曲线－＝1中，不管a>b还是a<b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题。 【考点二】排列的列举问题 【典例】在编号为1，2，3，4的四块土地上分别试种编号为1，2，3，4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号