专题01 两个计数原理（课件+讲义）-2022-2023学年高二数学新教材同步考点巩固与难点提升（人教A版2019选择性必修第三册）

专题01两个计数原理 复 习 概念复习 技巧复习 巩 固 考点一：分类加法计数原理 考点二：分步乘法计数原理 考点三：两个计数原理的简单应用 考点四：抽取(分配)问题 考点五：组数问题 考点六：涂色与种植问题 提 升 难点一：有约束条件的文化素养综合问题 难点二：复杂的种植问题 难点三：含逻辑推理的分类分步计数原理 难点四：高斯圆内整点问题 难点五：与其他知识综合问题 难点六：空间几何体涂色问题 小测 单选：共6题 多选：共2题 填空：共2题 解答：共3题 一、复习 【概念复习】 一般地，有如下分类加法计数原理： (1)完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法. (2)推广：如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法. 一般地，有如下分步乘法计数原理： (1)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. (2)推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种不同的方法. 分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题.区别在于： (1)分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事. (2)分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事. 【技巧复习】 1.分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”. 2.利用分类加法计数原理计数时的解题步骤. （1）分类：将完成这件事的方法分成若干类 （2）计数：求出每一类的方法数 （3）结论：将每一类的方法数相加得出结果 3.应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可. 利用分步乘法计数原理解题的一般思路. (1)分步：将完成这件事的过程分成若干步； (2)计数：求出每一步中的方法数； (3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果. 4.在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏. 5.对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰. 二、巩固 【考点一】分类加法计数原理 【典例】如图，电路中共有3个电阻与1个灯泡，若灯泡不亮，则因电阻断路的情况共有________种。 【解析】每个电阻都有断路与通路两种状态，灯泡不亮可以分3种情况讨论：①1个电阻断路，此时只有1种情况；②2个电阻断路，此时有3种情况；③3个电阻断路，此时只有1种情况。根据分类加法计数原理，可知灯泡因电阻断路不亮的情况共有1＋3＋1＝5(种)。 【变式】设a，b，c∈{1,2,3,4}，若以a，b，c为三条边的长构成一个等腰三角形，则这样的三角形有________个。 【解析】设a，b是腰长，根据腰长分四类：第1类，当a＝b＝1时，c<a＋b＝2，则c＝1。第2类，当a＝b＝2时，c<4，则c＝1,2,3。第3类，当a＝b＝3时，c<6，则c＝1,2,3,4。第4类，当a＝b＝4时，c<8，则c＝1,2,3,4。因此，符合条件的三角形的个数为1＋3＋4＋4＝12。 【考点二】分步乘法计数原理 【典例】将3封不同的信投到4个不同的邮箱,则不同的投法种数为 (　　) A.7 B.12 C.81 D.64 【解析】第一步,第一封信可以投到4个邮箱,有4种投法; 第二步,第二封信可以投到4个邮箱,有4种投法; 第三步,第三封信可以投到4个邮箱,有4种投法. 根据分步乘法计数原理,得不同的投法的种数为4×4×4=64. 【变式】某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B,C,D中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复),某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择,其他号码只想在1、3、6、9中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有 (　　) A. 180种 B. 360种