专题21 随机变量及其分布-2023届高考数学二轮复习专题讲义

专题21 随机变量及其分布 探究1：随机事件的概率 【典例剖析】 例1.(2021·全国高考考前模拟) 厦门国际马拉松赛是与北京国际马拉松赛齐名的中国著名赛事品牌，两者“一南一北”，形成春秋交替之势．为了备战年厦门马拉松赛，厦门市某“跑协”决定从名协会会员中随机挑选人参赛，则事件“其中，，，这人中至少人参加，且与不同时参加，与不同时参加”发生的概率为          ． 选题意图: 随机事件的概率问题是高考命题的热点，试题难度不高，在求概率时，多涉及计数原理计数，再利用古典概型求概率. 思维引导：本题可利用正难则反的思想求出其对立事件的概率，计数时要做好分类，避免重复或遗漏，利用古典概型的概率公式求出概率. 【变式训练】 练1-1(2022·广东省深圳市模拟) 已知是，，，，，，，的第百分位数，在，，，，，，，中随机取两个数，这两个数一个比大，另一个比小的概率为(    ) A. B. C. D. 练1-2(2022·山东省潍坊市联考) 现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球每个取后不放回，若第三次取出的球为白球的概率是，则          ． 【规律方法】 1.古典概型求概率:一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率. 2.由事件间的关系求概率 ①概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则． 推广：一般地，若事件彼此互斥，则事件发生（即中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：． ②对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则. ③若A，B是一次随机实验中的两个事件，则． 探究2：随机变量的分布列 【典例剖析】 例2.(2022·江苏省扬州市期中) 甲、乙两名学生进行“趣味投篮比赛”，制定比赛规则如下：每轮比赛中甲、乙两人各投一球，两人都投中或者都未投中则均记分；一人投中而另一人未投中，则投中的记分，未投中的记分，设每轮比赛中甲投中的概率为，乙投中的概率为，甲、乙两人投篮相互独立，且每轮比赛互不影响． 经过轮比赛，记甲的得分为，求的分布列和期望； 经过轮比赛，用表示第轮比赛后甲累计得分低于乙累计得分的概率，研究发现点 均在函数的图象上，求实数，，的值． 选题意图：离散型随机变量的分布列是高考的热点问题，试题综合性强，应用性广，对学生运用知识解决问题的能力要求较高.分析题目背景，明确离散型随机变量所表示的简单事件，及简单事件所包含的基本事件，利用排列组合公式、互斥事件、相互独立事件的性质等求出概率，从而得到分布列. 思维引导：第（1）问中，分析出可取-1,0,1，利用相互独立事件的性质、互斥事件求出概率，进而求出分布列和期望；第（2）问分别求出第轮比赛结束后，甲得分低于乙得分的概率，尤其是当时，要列出甲得分低于乙得分的四种情况，不要遗漏，将带入函数的解析式，得到方程组，求出的值. 【变式训练】 练2-1(2022·江苏省镇江市月考·多选) 设甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球，则下列正确的有(    ) A. 从甲袋中每次任取一个球不放回，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为 B. 从甲袋中随机取出了个球，恰好是个白球个红球的概率为 C. 从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取次，则取得红球个数的数学期望为 D. 从甲袋中任取个球放入乙袋，再从乙袋中任取个球，则从乙袋中取出的是个红球的概率为 练2-2(2022·湖北省孝感市模拟)年秋全国中小学实行“双减政策”和“”模式为响应这一政策，某校开设了“篮球”“围棋”等课后延时服务课程甲、乙两位同学在学习围棋后，切磋围棋棋艺已知甲先手时，甲获胜的概率为，乙先手时，乙获胜的概率为，每局无平局，且每局比赛的胜负相互独立，第一局甲先手． 若每一局负者下一局先手，两人连下局，求乙至少胜两局的概率 若每一局甲都先手，胜者得分，负者得分，先得分者获胜且比赛结束，比赛结束时，负者的积分为，求的分布列与数学期望． 【规律方法】 1．离散型随机变量的分布列的两个性质 (1)； (2). 2．变量的数学期望、方差 (1). (2)，标准差为. 3．期望、方差的性质 (1)； (2)若． 4．常见概率的求法 ①条件概率：在发生的条件下发生的概率， ②相互独立事件同时发生的概率：， ③在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率：， ④超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则，，其中. (5)正态分布：若，则正态曲线关于直线对称，常借助图象的对称性求随机变量落在某一范围内的概率. 探究3：概率问题中的交汇与创新 【典例剖析】 例3.( 2022·江西省吉安市月考) 为了丰富孩子们