新乡名校2021-2022学年下学期期末高二联考理数试题

新乡名校下期期末联考 高二数学（理）试题 一、选择题 1．设集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知复数（为虚数单位），则（ ） A．1 B． C．2 D． 3．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A．165 B．176 C．180 D．187 4．党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化.若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值（GDP）y（单位：万亿元）关于年份代号x的回归方程为，由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为（ ） A．14.0 B．13.6 C．202.2 D．195.6 5．北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（ ） A． B． C． D． 6．设函数，则使不等式成立的实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知，，，若，则向量，夹角的正切值为（ ） A． B． C．1 D． 8．已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两个新数据，此时8个数据的方差为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 9．设，随机变量X的分布列是 X 0 1 2 若，则（ ） A． B． C． D． 10．已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：，当时，y的值表示2021年年初的种群数量.若年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则t的最小值为(参考值：)（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 11．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于A、两点．若的中点坐标为，则的方程为（ ） A． B． C． D． 12．若函数与函数的图象在区间上有且仅有一个公共点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 13．若二项式的展开式中第5项与第6项的系数相同，则其常数项是 . 14．南宋著名数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就．在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列，且数列前n项和为，若数列满足，则= . 15．已知双曲线：，，过点的直线交于A，两点，为的中点，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为______. 16．如图，正四棱锥的每个顶点都在球的球面上，侧面是等边三角形．若半球的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球的体积与球的体积的比值为 ． 三、解答题 17．（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，. ①求的值； ②求的面积． 18．（本小题满分12分）中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）． 关注 没关注 合计 男 女 合计 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 ，其中. （1）完成上面的2×2列联表，试问是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”； （2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量，求的分布列及数学期望． 19．（本小题满分12分）在三棱柱中，是上一点，是的中点，且平面． （1）证明：； （2）若平面，平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值． 20．（本小题满分12分）已知是抛物线：的准线上的任意一点，过点作的两条切线，，其中、为切点． （1）证明：直线过定点，并求出定点坐标； （2）若直线交椭圆：于A、两点，求的最小值． 21．（本小题满分12分）已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，