专题37 二次函数的性质综合题（4大类型）-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练（全国通用）

模块三 重难点题型专项训练 专题37 二次函数的性质综合题（4大类型） 考查类型 考查类型一 交点问题 考查类型二 恒成立问题 考查类型三 函数值最值问题 考查类型四 其他性质综合题 新题速递 考查类型一 交点问题 例1 （2022·山东烟台·统考中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（　　） A．①③ B．②④ C．③④ D．②③ 【答案】D 【分析】根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后将由对称可知a＝b，从而可判断答案． 【详解】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①不符合题意． ②由题意可知：＝， ∴b＝a，故②符合题意． ③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c， ∴4a﹣2b+c＝0， ∵a＝b， ∴2a+c＝0，故③符合题意． ④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0， 令y＝1代入y＝ax2+bx+c， ∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、c的数量关系，本题属于基础题型． 例2 （2022·湖北荆州·统考中考真题）规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得． 【详解】解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点， 函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点， 当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点， 当时，此函数是二次函数， 它们的图象与x轴都只有一个交点， 它们的顶点分别在x轴上， ，得， 故k+1=0，解得k=-1， 故原函数的解析式为， 故它的“Y函数”解析式为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 例3 （2022·山西·中考真题）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务 用函数观点认识一元二次方程根的情况 我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况 下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行分析： （1）时，抛物线开口向上． ①当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）． ②当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）． ∴一元二次方程有两个相等的实数根． ③当时， …… （2）时，抛物线开口向下． …… 任务： (1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）； A．数形结合 B．统计思想 C．分类讨论． D．转化思想 (2)请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图； (3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为 【答案】(1)AC (2)分析见解析；作图见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）解一元二次方程的解转化为抛物线与x轴交点的横坐标；还体现了分类讨论思想； （2）依照例题，画出图形，数形结合，可以解答； （3）结合所学知识，找到用转化思想或数形结合或分类讨论思想解决问题的一种情况即可． 【详解】（1）解：上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、分类讨论思想， 故答案为：AC； （2）解：a>0时，抛物线开口向上． 当△=b2−4ac<0时，有4ac−b2>0﹒ ∵a>0， ∴顶点纵坐标﹒ ∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如图）： ∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根． （3）解：可用函数观点