解答题系列-数列（1）-2023届高三数学二轮复习

解答题系列-数列（1） 一、解答题 1．记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 2．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 3．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 4．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 5．已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 6．已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 7．已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）求. 8．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 参考答案： 1．【解析】（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 2．【解析】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证． （2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为． 3．【解析】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 4．【解析】(1)由等差数列的性质可得：，则：， 设等差数列的公差为，从而有：， ， 从而：，由于公差不为零，故：， 数列的通项公式为：. (2)由数列的通项公式可得：，则：， 则不等式即：，整理可得：， 解得：或，又为正整数，故的最小值为. 5．【解析】（1）显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． （2）由题意知数列满足， 所以． 所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列的前20项和为： ． 6．【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)， 所以，所以数列的通项公式为. （2）由题意，，即，当时，． 当时，，则 ． 7．【解析】(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则， 整理可得：， ， 数列的通项公式为：. (2)由于：，故： . 8．【解析】 由已知条件知    ① 于是．       ② 由①②得．     ③ 又，       ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题系列-数列（1） 一、解答题 1．记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 2．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 3．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 4．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 5．已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 6．已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 7．已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）求. 8．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 参考答案： 1．【解析】（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 2．【解析】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证． （2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为． 3．【解析】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 4．【解析】(1)由等差数列的性质可得：，则：， 设等差数列的公差为，从而有：， ， 从而：，由于公差不为零，故：， 数列的通项公式为：. (2)由数列的通项公式可得：，则：， 则不等式即：，整理可得：， 解得：或，又为正整数，故的最小值为. 5．【解析】（1）显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． （2）由题意知数列满足， 所以． 所以数列的奇