2023年九年级中考数学高频考点提升练习--全等三角形的证明

2023年九年级中考数学高频考点提升练习--全等三角形的证明 1．如图①，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D→A匀速运动，同时动点Q以相同的速度在x轴正半轴上运动，当点P到达A点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒． （1）当P点在边AB上运动时点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度； （2）求正方形边长及顶点C的坐标； （3）在（1）中，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围． （4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由． 2．某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： （1）如图1，正方形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，则EF　 　GH；（填“＞”“=”或“＜”） （2）如图2，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证： = ； （3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BC=3，CD=5，AD=7.5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求 的值． 3．【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF． （1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据　 　，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF． 第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF． （2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF． 第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等． （3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹） （4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若　 　，则△ABC≌△DEF． 4．在矩形ABCD中，，P为CD上的动点．Q为DA上的动点，且． （1）如图①，当点R在CB上时，求的值． （2）如图②，PR与CB相交于点N连接QN，当QP平分时，求证：． （3）在（2）的前提下，连接CR，当时，求的值． 5．如图1，在平面直角坐标中，点，，，其中，点P为线段上任意一点，连接，于E，于D． （1）求证：； （2）当时，若点，请你在图1中连接，交于点．求证：； （3）若将“点P为线段上任意一点”，改为“点P为线段延长线上任意一点”，其他条件不变，连接，，垂足为F，交轴于点H，交轴于点N，请在图2中补全图形，求点N的坐标（用含m的代数式表示）． 6．如图1，在平面直角坐标系中 直线 与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转 得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作 轴于点E． （1）求证： ≌ ； （2）如图2，将 沿x轴正方向平移得 ，当直线 经过点D时，求点D的坐标及 平移的距离； （3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上 是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐；若不存在，请说明理由． 7．问题背景：在正方形ABCD的外侧，作△ADE和△DCF，连接AF，BE． （1）特例探究：如图1，若△ADE和△DCF均为等边三角形，试判断线段AF与BE的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）拓展应用：如图2，在△ADE和△DCF中，，，且，求四边形ABFE的面积？ 8．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在射线BC上，且四边形DEFG是正方形，连接CG． （1）求证：AE＝