函数与导数大题加强练-【红对勾】2023版高考数学（文科）二轮复习讲与练

第一部分 专题突破 函数与导数大题加强练 1.已知函数f(x)=ln x-x+a. (1)若f(x)≤0,求a的取值范围; (2)若f(x)有两个零点m,n,且m <n,证 明:n+ 1 n <2e a-1<m+ 1 m. 2.(2022·全国乙卷)已知函数f(x)=ax- 1 x- (a+1)ln x. (1)当a=0时,求f(x)的最大值; (2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 137 高三二轮·数学·1(文科) 3.(2022·贵阳适应性考试)已知函数f(x)= xln x-x,g(x)=aln x-x2+1. (1)求函数f(x)的最小值; (2)若g(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,求实 数a的值; (3)证明:e1+ 1 2+ 1 3+…+ 1 2 021+ 1 2 022>2 023,e是自然对 数的底数. 4.(2022·沈阳市联考)已知函数f(x)=ln x- ax-1(a∈R). (1)若函数f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立, 求a的取值范围; (2)若x1,x2是函数f(x)的两个零点,证明: f'(x1x2)< 1 e4- a. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 138 详解答案 g(x)取得极大值g - 1 2 = 14e,当 x =1时,g(x)取得极小值g(1)=e. 因为e> 1 4e ,当x→-∞时,g(x)> 0且g(x)→0,当x < 1 2 且x → 1 2 时,g(x)→-∞,当x> 1 2 且x→ 1 2 时,g(x)→+∞,当x→+∞时,g(x) →+∞,所以a的取值范围是 0,1 4e ∪ (e,+∞). 6.解:(1)由题意得f'(x)= 1 x -a ,x> 0, 当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在 (0,+∞)上单调递增,无极值; 当a>0时,易得f(x)在 0, 1 a 上单 调递增,在 1 a ,+∞ 上单调递减, 所以f(x)在x = 1 a 处取得极大值, 没有极小值.故a>0. (2)当a=1时,g(x)的零点个数为2. 证明如下:当a=1时,g(x)=f(x)+ 2sin x =ln x -x +2sin x(x >0), g'(x)= 1 x -1+2cos x,令h(x)= 1 x -1+2cos x,则h'(x)= - 1 x2 - 2sin x, (ⅰ)当x∈(0,π]时,h'(x)<0,则易 知g'(x)单调递减,且g'(1)=2cos 1> 0,g'(π)= 1 π-3<0 ,所以存在唯一 的x0 ∈ (1,π),使得g'(x0)=0. 当0<x<x0时,g'(x)>0,g(x)单 调递增,当x0<x≤π时,g'(x)<0, g(x)单调递减, 又g 1 e3 = -3- 1e3 +2sin1e3 <0, g(1)=2sin 1-1>0,g(π)=ln π- π<0, 所以g(x)在 1 e3 ,1 ,(1,π)上各有1 个零点. (ⅱ)当x∈(π,2π)时,g(x)<ln x- x <ln π-π<0,g(x)没有零点. (ⅲ)当x ∈ [2π,+ ∞)时,g(x)≤ ln x-x+2≤ln 2π-2π+2<4- 2π<0,g(x)没有零点. 综上,g(x)在 1 e3 ,1 ,(1,π)上各有1 个零点,即g(x)的零点个数为2. 函数与导数大题加强练 1.解:(1)f(x)的定义域为(0,+ ∞), f'(x)= 1 x -1. 当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1 时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上 单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 即x = 1 时,f(x)取 得 最 大 值 为 f(1)=a-1,依题意,a-1≤0,故 a≤1. (2)证明:由(1)知,a >1,0<m < 1<n,ea-1 = em-1 m = en-1 n . 所 以 2ea-