专题三 提分微课(2) 数列的热点问题-【红对勾】2023版高考数学（文科）二轮复习讲与练

第一部分 专题三 数列 方向3 裂项相消求和 [例3] (2022·新高考全国Ⅰ卷)记Sn 为 数列{an}的前n项和,已知a1=1, Sn an 是公差 为1 3 的等差数列. (1)求{an}的通项公式; (2)证明:1a1+ 1 a2+ …+ 1 an < 2. 1.裂项相消求和就是将数列中的每一项裂成两 项或多项,使这些裂开的项出现有规律的相互抵消, 要注意消去了哪些项,保留了哪些项. 2.消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项, 前边剩第几项,后边就剩倒数第几项. 已知各项均为正数的等差数列{an}满足a1= 1,a2n+1=a2n +2(an+1+an). (1)求{an}的通项公式; (2)记bn = 1 an + an+1 ,求数列{bn}的前n 项和Sn. an 与Sn 的关系问题 [例4] (2022·八省八校联考)设数列{an} 的前n项和为Sn,且2Sn +1=3an(n∈N*). (1)求Sn; (2)证明:当n≥2时,2Sn + 3 an ≥ 9. 1.给出Sn 与an 的递推关系求an,常用思路:一是 利用an=Sn-Sn-1(n≥2) 转化为an 的递推关系,再 求其通项公式;二是转化为Sn 的递推关系,先求出Sn 与n之间的关系,再求an. 2.由Sn 求an 时,一定注意分n=1和n≥2,两种 情况,最后验证两者是否能合为一个式子,若不能,则 利用分段形式来表示. 1.(2022·长春市质量监测)已知数列{an}中, a1=1,a2=2,且an·an+1·an+2=an+an+1+ an+2,其中n ∈N*,则a1+a2+a3+…+ a2 022= . 2.(2022·北京卷)已知数列{an}的各项均为正 数,其前n 项和Sn 满足an·Sn =9(n=1, 2,…).给出下列四个结论: ①{an}的第2项小于3;②{an}为等比数列; ③{an}为递减数列;④{an}中存在小于 1 100 的项. 其中所有正确结论的序号是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 五 提分微课(2) 数列的热点问题 数列具有函数的性质,又具本身独特的性 质,是历年高考重点考查的对象.主要体现在数 列与函数、不等式、最值的结合,另外数列的探 究性问题、新背景问题也是近年高考的热点问 题,考查了逻辑推理能力、探究能力以及解决实 际问题的能力. 1.数列的单调性 [例1] 已知数列{an},a1=1,前n项和Sn 满足nSn+1-(n+3)Sn =0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 023 高三二轮·数学·1(文科) (1)求{an}的通项公式; (2)设cn=2n n an - λ ,若数列{cn}是递减 数列,求实数λ 的取值范围. 破解此类求参数范围问题的关键:一是会求数列 的通项,可以利用定义法、构造法等求出数列的通项 公式;二是活用数列的单调性,如本例利用数列{cn} 是单调递减数列,得到cn+1 <cn(n∈N* ),从而找到 参数所满足的不等式,解不等式(或构造函数利用导 数求解),即可求出参数的取值范围.另外要特别注 意,数列作为一类特殊的函数,其定义域是正整数(或 它的有限子集). 2.数列中的最值 [例2] (2022·武汉市模拟)已知数列 {an}满足a1=1,a2=2,且对任意n∈N*,都有 an+2=3an+1-2an. (1)求证:{an+1 -an}是等比数列,并求 {an}的通项公式; (2)求使得不等式1a1+ 2 a2+ …+ m am ≤ 15 4 成 立的最大正整数m. 数列中的最值问题一般涉及求数列{an} 项的最 值,前n项和Sn 的最值及序号n的最值.求解数列最 值的常用方法: (1) 利用等差数列、等比数列的单调性; (2) 先用比较法证明数列{an} 的单调性,然后利 用单调性求{an} 的最值; (3) 构造函数,利用基本不等式求最值. 3.数列的探究 [例3] (2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星 在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我 国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦 娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到 数列{bn}:b1=1+ 1 α1 ,b2=1+ 1 α1+ 1 α2 ,b3=1+ 1 α1+ 1 α2+ 1 α3 ,….以此类推,其中αk ∈N*(k= 1,2,…),则 ( ) A.b1<b5 B.b3<b8 C.b6