专题七 提分微课(6) 极值点偏移问题 提分微课(7) 隐零点问题-【红对勾】2023版高考数学（文科）二轮复习讲与练

高三二轮·数学·1(文科) 1.三步求解函数零点(方程根) 的个数问题 第一步:将问题转化为函数的零点问题,进而转 化为函数的图象与x 轴(或直线y=k) 在该区间上的 交点问题; 第二步:利用导数研究该函数在该区间上的单调 性、极值(最值)、端点值等性质; 第三步:结合图象求解. 2.已知零点求参数的取值范围:① 结合图象与单 调性,分析函数的极值点;② 依据零点确定极值的范 围;③ 对于参数选择恰当的分类标准进行讨论. (2022·沈阳市一模)已知函数f(x)=xex- ax-aln x+a. (1)若a=e,判断函数f(x)的单调性,并求 出f(x)的最值; (2)若函数f(x)有两个零点,求实数a的取 值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 十六 提分微课(6) 极值点偏移问题 极值点偏移是指函数在极值点左右的增减 速度不一样,导致函数图象不具有对称性,极值 点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中, 这类题往往思维要求较高,过程较为烦琐,计算 量较大.解决极值点偏移问题,有对称化构造函 数法和比值代换法.其破解问题的关键:一是转 化,即由已知条件入手,寻找双变量满足的关系 式,并把含双变量问题转化为含单变量的问题, 二是巧妙构造函数,再借用导数,判断函数的单 调性,从而求其最值. [典例] 已知函数f(x)=aex-x,a∈R. 若f(x)有两个不同的零点x1,x2.证明x1+ x2>2. 极值点偏移问题的解法 (1)(对称化构造法) 构造辅助函数:对结论x1+ x2 >2x0 型,构造函数F(x)=f(x)-f(2x0-x); 对结论x1x2 <x20 型, 构造函数 F(x) =f(x) - f x20 x ,通过研究F(x) 的单调性获得不等式. (2)(比值代换法) 通过代数变形将所证的双变量 不等式通过代换t= x1 x2 化为单变量的函数不等式,利 用函数单调性证明. (2022·南通市调研考试)已知函数f(x)= a x +ln x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x1)=f(x2)=2(x1 ≠x2),证明: a2<x1x2<ae. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 066 第一部分 专题七 函数与导数 提分微课(7) 隐零点问题 隐零点问题是指一个函数的零点存在但无 法直接求解出来.在函数、不等式与导数的综合 题目中常会遇到.涉及隐零点问题,一般对函数 的零点设而不求,借助整体代换和过渡,再结合 题目条件,利用函数的性质巧妙求解.下面介绍 隐零点问题的几种常见解题策略: 1.整体代换 [例1] (2022·合肥模拟)已知函数f(x)= aex -ln x-e. (1)当a=1时,讨论函数g(x)=f(x)- (e-1)x 的单调性; (2)当a>1时,证明:当x>0时,f(x)> 2-e. 整体代换,将超越式转化为普通式,如果f'(x) 是超越形式(对字母进行了有限次初等超越运算包括 无理数次乘方、指数、对数、三角等运算的解析式,称 为初等超越式,简称超越式),将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简证明;有时候第一步中的 零点范围还可以适当缩小.导函数零点虽然隐形,但 只要抓住特征(零点方程),判断其范围(用零点存在 性定理),最后整体代入即可. 2.代入消参 [例2] 已知函数f(x)=xex-a(x+ln x). (1)讨论f(x)极值点的个数; (2)若x0 是f(x)的一个极小值点,且 f(x0)>0,证明:f(x0)>2(x0-x30). 本题利用f'(x0)=0得到a=x0e x0 ,将a=x0e x0 代入f(x0)表达式消去参数a,转化为关于x0的一元 函数. 3.降次留参 [例3] 已知函数f(x)=alnx-ax+1. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若函数g(x)=f(x)+ 1 2x 2-1有两个 极值点x1,x2(x1 ≠x2),且不等式g(x1)+ g(x2)<λ(x1+x2)恒成立,求实数λ 的取值 范围. 如果问题要求解(或求证) 的结论与参数有关, 利用关系式f'(x0)=0(大部分情况可转化为二次方 程),在保留参数的情况下,不断地把零点的次数降到 不可再降为止,再结合其他条件,建立含参数的方程 (或不等式),就可求出参数的值或参数的范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �