2023年中考数学复习讲义 圆

2023年中考数学复习讲义 圆 第一部分：知识点精准记忆 一、与圆有关概念： 1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(如上图中的AB)； 3.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距； 4.直径：经过圆心的弦叫做直径(如上图中的CD)；直径等于半径的2倍。 5.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 6.弧、优弧、劣弧： （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示， 以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB” ． （2）大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示)； （3）小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)。 7.等弧：在 同圆 或 等圆 中，能够互相 重合 的弧叫做等弧。 8.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。 9.垂径定理及其推论： （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 （2）推论1： ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 （2）推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 10.圆的对称性： （1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； （2）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 二、与圆有关的角： 1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理： （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 3.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 4.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 （1）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； （2）推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； （3）推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 三、与圆有关的位置关系： 1.点与圆的位置关系： （1）设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r； ②点P在圆内⇔d＜r； ③点P在圆上⇔d＝r。 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆。 2.直线与圆的位置关系： （1）直线和圆有三种位置关系，具体如下： ①相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； ②相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线； ③相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 （2）如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么： ①直线l与⊙O相交⇔d<r； ②直线l与⊙O相切⇔d=r； ③直线l与⊙O相离⇔d>r； （3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （4）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 （5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 （6）三角形的外心：三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点。 （7）三角形的内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点。 四、与圆有关的计算： 1.弧长及扇形的面积： （1）半径为r，n°的圆心角所对的弧长公式： ； （2）半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积公式： (l是扇形的弧长)； 2.圆锥的侧面积和全面积： 圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r； 那么这个扇形的半径为圆锥的母线长l，扇形的弧长为圆锥的底面圆周长2πr。 （1）圆锥的侧面积公式： (其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径)； （2）圆锥的全面积公式： S圆锥全＝侧面积＋底面圆面积=πrl＋πr2； 3.求阴影部分面积的几种常见方法： （1）公式法； （2）割补法； （3）拼凑法； （4）等积变形构造方程法； （5）去重法。 4.正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b，S正方形=。 第二部分：考点典例剖析 考点一： 圆的基本认识 【例1-1】（2021·山东临沂市·中考真题）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是___（只填写序号）． ①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”； ②车轮做成圆