1.2.2等差数列的前n项和 课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

等差数列的前n项和 1 知识回顾 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,回答下列问题: (1)通项公式an= . (2)如果m+n=p+q(m,n,p,q N+),则 . 这节课我们将要学习等差数列的前n项和 的求法. an=a1+(n-1)d 新知探索 实例1:如图所示,用相同的圆木料,堆成 如图所示的正三角形垛,若堆了100层,那么用 了多少根圆木料? 设x=1 +2 +3 +...+100 =100+99+98+...+1, 这两个等式上、下对应项的和均为101,即 2x=(1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(100+1) =101×100,解得x=5050 “数学王子”高斯 根据题意,各层圆木料数比上一层多一根,故其构成等差数列: 1,2,3,...,100 设所用圆木料数为S100,则 S100=1+2+3+…+100, 这是一个等差数列求和问题. 实例2:你能根据高斯的算法,计算当正三角形垛有n层时,总共用了的圆木数吗? 设n层的正三角形垛用的圆木数为Sn,则 你能说说这样计算依据的原理吗? 等差数列的前n项和公式的证明 设Sn是等差数列{an}的前n项和,即 再把项的次序反过来, 由等差数列性质 把(1),(2)等号两边分别相加,可得 等差数列的前n项和公式 首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和 这个公式表明:等差数列前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半,其原理参见右图. 将an=a1+(n-1)d代入上式,得 典例分析 例1 求前n个正奇数的和. 解:前n个正奇数分别为1,3,5,7,.......,2n-1. 变式:求前n个正偶数的和. 练习 在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计。例如北京天坛圆丘的地面由扇圆形的石板铺成,最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共9圈。请问: (1)第9圈共有多少块石板;(2)前9圈一共有多少块石板. 1.两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也是等差数列的基本问题形式之一. 例2 已知等差数列{an}中, (2)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d. 整理得n2-7n-60=0, 解得n=12或n=-5(舍去负值). 即-512=1+(4-1)d, 解得d=-171. 【变式训练1】 (1)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1= ,S2=a3,则a2= ;Sn= . (2)在等差数列{an}中,已知公差d=2,an=11,Sn=35,求a1和n. 例3 在等差数列{an}中: (1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10; (2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n. 变式训练 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1=-2 018,S6-2S3=18,则S2 020=( ) A.-2 018 B.2 018 C.2 019 D.2 020 (2)(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N+),当首项a1和公差d变化时,若a1+a8+a15是定值,则下列各项中为定值的是( ) A.a7 B.a8 C.S15 D.S16 2.当已知首项a1,末项an,项数n时,用公式Sn=.用此公式时,有时要结合等差数列的性质,如a1+an=ak+an-k+1,从而有Sn=(ak+an-k+1). 3.当已知首项a1,公差d及项数n时,用公式Sn=na1+d. (1)a1=,d=- ,Sn=-15,求n; 解:(1)Sn=n·=-15, (2)由Sn==-1 022,解得n=4.又由an=a1+(n-1)d, 答案:1 (1)解析:设公差为d,则由S2=a3,得2a1+d=a1+2d,所以d=a1=, 故a2=a1+d=1,Sn=na1+d=. (2)解:设首项为a1, 由题意得 解方程组,得 解 (1)(方法一)由已知条件得 解得 ∴S10=10a1+d=10×3+×4=210. (方法二)由已知条件得 ∴a1+a10=42,∴S10==5×42=210. (2)S7==7a4=42,解得a4=6. ∴Sn==510. ∴n=20. 解析 (1)设等差数列{an}的公差为d.∵a1=-2 018,S6-2S3=18, ∴6a1+·d-6a1-2×·d=18,整理可得9d=18,解得d=2. 则S2 020=2 020×(-2 018)+×2=2 020.故选D. 解析 (2)∵a1+a15=2a8,∴a1+a8+a15=3a8,可得a8是定值,S15=×15×(a1+a15)=15a8,故