2023年中考数学专题复习：“铅垂高”法在二次函数中求面积

“铅垂高×水平宽”法在二次函数中求面积 一、什么是铅锤高法？ 过△ABC的三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，垂足为M、E、N，MN的长度就叫做△ABC的“水平宽”，中间的这条垂线AE在△ABC内部线段的长度AD就△ABC的“铅垂高(h)”，三角形面积的另一种计算方法：S△ABC＝MNAD，即三角形ABC面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。 二、用等积法推导铅垂高法 证明：如图，AD把△ABC分成两部分△ABD、△ADC， 若以AD为底，则ME、NE分别为△ABD、△ADC的高 S△ABC = S△ABD+ S△ADC =MEAD +ENAD = MNAD 即三角形ABC面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 三、铅锤高法在二次函数求面积中的巧妙应用 注意：在二次函数中，应用铅锤高法，通常把“水平宽”映射在x轴上，少数情况也映射在y轴上。 例1、已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1,0），点C(0,5) ，另抛物线经过点(1,8) ，M为它的顶点. （1） 求抛物线的解析式； （2） 求△MCB的面积S△MCB. （1） 解：∵A(-1，0)，B(0，5)，C(1，8)三点在抛物线y=ax2+bx+c上 ∴ 解方程组得 故抛物线的解析式为y=-x2+4x+5 （2） 解：过点M作MN∥y轴交BC于点N， 则△MCB的面积=△MCN的面积+△MNB的面积=. ∵y=-x2+4x+5=-(x-5)(x+1)=-(x-2)2+9， ∴M(2，9)，B(5，0)， 由B、C两点的坐标易求得直线BC的解析式为：y=-x+5， 当x=2时，y=-2+5=3，则N（2，3）， 则MN=9-3=6， 则S△MCB= = 6×5÷2=15. （铅垂高法） 如果用一般的割补法：S△MCB = S△MEB + S梯形MCOE - S△MCB ，那么计算量会很大。 例2、如图，抛物线y1=ax2+c的顶点为 M，且抛物线与直线y2=kx+1 相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的坐标为(2，3)，连结 AM、BM。 (1)a= ，c= ，k= (直接写出结果); (2)当y1<y2时，则x的取值范围为 (直接写出结果); (3)在直线 AB 下方的抛物线上是否存在一点 P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出△ABP的最大面积及点P坐标。 解析： 1  -1  1  -1＜x＜2 解：（1）将点B的坐标（2，3）代入y2=kx+1得： 3=2k+1 解得：k=1 ∴y2=x+1 令y2=0得：0=x+1 解得：x=-1 ∴A（-1，0） 将A（-1，0）、B（2，3）代入y1=ax2+c得： 解得：a=1，c=-1 故答案为：1，-1，1； （2）∵A（-1，0）、B（2，3） ∴结合图象可得：当y1＜y2时，则x的取值范围为-1＜x＜2 （3）在直线AB下方的抛物线上存在一点P，使得△ABP的面积最大． 如图，设平行于直线y2=x+1的直线解析式为：y3=x+b 由得：x2-1=x+b ∴x2-x-1-b=0 令△=0得：1-4(-1-b)=0 解得：b=- ∴y3=x-， ∴x2-x-1+=0 解得：x1=x2= ∴P(，-) ∴当点P (，-)时，△ABP的面积最大 设y3=x-与x轴交于点C，则点C坐标为：(，0)， 过点C作CD⊥AB 由平行线间的距离处处相等，可知线段CD的长度即为△ABP的高的长度 ∵y2=x+1与x轴所成锐角为45° ∴△ACD为等腰直角三角形 ∵AC=-(-1)= ∴CD= == ∵A（-1，0）、B（2，3） ∴AB==3 ∴△ABP的面积为：×3×= ∴在直线AB下方的抛物线上存在一点P，使得△ABP的面积最大；△ABP的最大面积为；点P坐标为（，-）． （1）将点B的坐标（2，3）代入y2=kx+1求得k值； 再令y2=0，可求得点A的坐标； 将A（-1，0）、B（2，3）代入y1=ax2+c，解方程组可求得a和c的值； （2）由A（-1，0）、B（2，3），结合函数图象可得答案； （3）如图，设平行于直线y2=x+1的直线解析式为：y3=x+b，则该直线与抛物线在第四象限相切时，△ABP的面积最大，由一元二次方程的根的判别式可求得b值，从而可得点P坐标及y3=x+b的解析式，从y3=x+b与x轴的交点C向直线y2=kx+1作垂线段CD，在等腰直角三角形△ACD中，可求得CD的长；求得AB的长，利用三角形的面积公式，可得答案． 本题考查了求一次函数、二次函数的解析式中的相关字母、构成的三角形的面积最大值的动点的存在性、二次函数与不等式的关系、抛物线与直线的交点个数与一元二次方