2.1.1椭圆及其标准方程 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版选修1-1

椭圆及其标准方程 四川省芦山中学 芶林军 一.图片感知 认识椭圆 一.图片感知 认识椭圆 ——仙女座星系 一.图片感知 认识椭圆 一.图片感知 认识椭圆 (1)取一条细绳， (2)把它的两端固定在板上的两点F1、F2 (3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形 二.类比探究 形成概念 请同学们小组合作，完成下列图形 ♦自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢? 数 学 实 验 二.类比探究 形成概念 探究1:椭圆的定义 二.类比探究 形成概念 探究1:椭圆的定义 数 学 实 验 椭圆的定义：（与圆类比） 圆： O P 椭圆 平面内与一个定点的距离等于常数（大于0）的点的轨迹叫作圆，这个定点叫做圆的圆心，定长叫做圆的半径 圆的定义： 平面内与两个定点　　的距离和等于常数（大于 　　）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ． 2 1 F F 椭圆的定义： 概念辨析 2个问题： ①为什么要强调在平面内？ ②为什么要强调 (即绳长大于两焦点的距离)？ 为什么要强调在平面内？类比 平面内： 圆 O P 平面内： 椭圆 空间中： 空间中： 球面 椭球面 为什么要强调 2a>2c?1 绳长能小于两点之间的距离吗？ 改变两点之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 当2a>2c时轨迹为 ：动点的轨迹为椭圆 当2a=2c时轨迹为 ：动点的轨迹为线段F1F2 当2a<2c时: 无轨迹 结论 椭圆方程的建立—— 步骤一：建立直角坐标系 步骤二：设动点坐标 步骤四：代入坐标 步骤五：化简方程 步骤三：限制条件，列等式 (三) 椭圆方程的推导：（坐标法） 学生活动 ♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案 建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁” O x y O x y O x y M F1 F2 方案一 F1 F2 方案二 O x y M O x y 解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). 设M(x, y)是椭圆上任意一 点，椭圆的焦距2c(c>0)，M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . x F1 F2 M 0 y 建构数学 （问题：下面怎样化简？） 由椭圆的定义得，限制条件： 代入坐标 1)椭圆的标准方程的推导 移项得： ？ 将上式两边同时平方: 再将上式两边同时平方: 由椭圆定义：|MF1|＋|MF2|=2a可得： 如何化简 整理得: 整理得: x y o 18 0. 总体印象： 对称、简洁 焦点在y轴： 焦点在x轴： 2)椭圆的标准方程 1 o F y x 2 F M 1 2 y o F F M x 图 形 方 程 焦 点 F(±c，0) F(0，±c) a,b,c之间的关系 c2=a2-b2 MF1+MF2=2a (2a>2c>0) 定 义 1 2 y o F F M x 1 o F y x 2 F M 3)两类标准方程的对照表 注: 共同点：椭圆的标准方程表示的图像一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1. 不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 项分母较大. 例1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上； (2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上； 或 实战演练 例2.两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经过点P（ -1.5 ，2.5）. x y F1 F2 P 分析：焦点位置？ 方程形式？ (法一) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的 标准方程为 由椭圆的定义知， 所以所求椭圆的标准方程为 （法二）待定系数法 解:设所求的标准方程为 依题意得 解得: 所以所求椭圆的标准方程为: ． 小结 知识点小结： 1．椭圆的定义： 平面内与两个定点 、 的距离的和 的点的轨迹是椭圆． 等于常数( 大于 ) 一个定义 2．椭圆的标准方程 焦点在 轴上椭圆的标准方程为： 焦点在 轴上椭圆的标准方程为： 知识点小结： 两类方程 1.下列方程哪些表示椭圆？