[中学联盟]四川省宜宾县双龙镇初级中学华师大版数学九年级下册：29.2反证法（课件，2份）

华东师大版《数学 · 九年级（下）》 第29章 几何的回顾 §29.2 反证法 第一课时 反证法的概念及证题步骤 [学习目标] 1. 了解反证法的概念。 2.掌握反证法证明几何命题的思路和步骤 [重、难点] 重点：反证法的证题思路。 难点：用反证法证题的过程中，如何掌握逆向思维。 2.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题． [学习过程] 一、复习 1.命题：判断一件事情真假的语句。 二、反证法的引入 在证明几何命题时，若从正面无法证明其结论时，往往是考虑从命题的反面入手来解决问题。从而体会数学的逆向思维。 反证法是一种间接证明命题的方法。 1.为什么要学习反证法？ 2.反证法证明命题的步骤 例：垂直于同一条直线的两直线平行。 证明：（反证法） 假设直线 a不平行b，那么在平面内，a和b就应该相交，设交点为P。 已知：如图，直线a⊥l，b⊥l，求证：a∥b。 b a l P · ∵a⊥l，b⊥l，而a和b相交于点P，那么经过一点P就有两条直线和直线l垂直，这与“经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直”相矛盾，故a和b相交是错误的。 ∴ a∥b (1)假设命题的结论不成立； 归纳反证法的证题步骤： (2)通过逻辑推理，推出与我们学过的公理、定理、定义或者已知条件相矛盾的结论，说明假设不成立。 (3)由上面的“假设不成立”，从而得到要证的命题的结论成立。 说出下列结论的反面： a⊥b 2. a ∥ b 3. a ≥0 4. d是正数 5.至少有一个 6.至多有一个 a不垂直于b 4. d不是正数,即d ≤0 3. a ＜0 5.一个也没有 6.至少有两个 2. a ∥b 常用的互为否定的表述方式：不是——是；不存在——存在；不平行——平行；不垂直——垂直；不等于——等于；不都是——都是；不大于——大于；不小于——小于；至少有一个——一个也没有；至少有三个——至多有两个 至少有n个——至多有(n-1)个 例1：在一个三角形中至少有一个内角小于或等于60o。 三、用法举例 已知：△ABC。 求证：△ABC中至少有一个角小于或等于60o。 证明：假设△ABC中没有一个角小于或等于60o。 则：∠A>60o，∠B>60o，∠C>60o ∴∠A+∠B+∠C>180o。这与三角形内角和等于180o相矛盾。 ∴假设不成立。 ∴ △ABC中至少有一个角小于或等于60o。 例2：求证：等腰三角形的底角都是锐角。 已知：△ABC中，AB=AC。 求证： ∠B>，∠C都是锐角。 证明：假设∠B，∠C不都是锐角； 则：∠B，∠C都是直角或钝角； ∴∠B≥90o，∠C≥90o。∴∠B+∠C≥180o ∴假设不成立。 ∴等腰三角形的底角都是锐角。 ∴∠A+∠B+∠C>180o。 这与三角形内角和定理相矛盾。 练习：书上P57上面的练习 1，2 注意 “都是” 的反面是 “不都是” 例3：若a，b，c是实数， A=2a-2b+ ，B=2b-2c+ ，C=2c-2a+ 。 求证：A、B、C中至少有一个的值大于0。 证明：假设A，B，C没有一个的值大于0； 则：A≤0，B≤0，C≤0； ∴①、②相矛盾，∴假设不成立。 ∴ A、B、C中至少有一个的值大于0。 ∴A+B+C≤0················································① “至少有一个”的意思是：有一个或两个或三个，而它的反面是“一个都没有” 但A+B+C=2a-2b+ +2b-2c+ +2c-2a+ = + + >0························· ② 例4、已知：在△ABC中，∠C=90°. 求证： ∠B一定是锐角. 证明：假设∠B不是锐角，即∠B是直角或钝角. 综合① 和②知假设不成立, 所以∠B一定是锐角. ①当∠B是直角，即∠B= 90°时, ②当∠B是钝角，即∠B ＞ 90°时, ∠B+ ∠C=90° +90°=180°, 于是∠ A+∠B+ ∠C= ∠ A +180°＞180°, 这与三角形的内角和等于180°相矛盾; ∠B+ ∠C ＞ 90° +90°=180°, 于是∠ A+∠B+ ∠C ＞ ∠ A +180°＞180°, 这与三角形的内角和等于180° 相矛盾; A C B 。 1、求证：垂直于同一条直线的两条直线平行. 2、证明不存在整数m,n,使得 成立. 注意:用反证法证题时,应注意