专题25 立体几何平行与垂直判断与证明问题-2023年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

第25讲 立体几何平行与垂直判断与证明问题 【考点预测】 1、证明空间中直线、平面的平行关系 （1）证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2）证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面. （3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理； 2、证明空间中直线、平面的垂直关系 （1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质（）； ⑦平行线垂直直线的传递性（∥）. （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（∥）； ⑤面面垂直的性质（）. （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）. 【典例例题】 例1．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题： ①若，，则；     ②若，，，则； ③若，，则；     ④若，，则. 其中正确的命题个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【解析】对于命题①，若，过直线的平面与的交线满足，则， ，，，则，命题①正确； 对于命题②，若，，，则，命题②正确； 对于命题③，若，，则或，或相交但不垂直，或， 故③错误； 对于命题④，根据面面垂直的判断定理可知，若，，则，命题④正确. 故选：D. 例2．（2023·山东滨州·高三统考期末）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．，，则 B．，，，，则 C．，，，则 D．，，，则 【答案】D 【解析】对于A，，，则或，A错误； 对于B，若，，，，则或相交， 只有加上条件相交，结论才成立，B错误； 对于C，，，无法得到， 只有加上条件才能得出结论，C错误； 对于D，，，则，又因为，所以，D正确. 故选:D. 例3．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，根据基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行，故A正确； 对于B，根据平面平行的传递性，若，则，故B正确； 对于C，由，，当时，则，当时，则不一定垂直于，故C错误； 对于D，由，设，且，又，则，又，所以，故D正确． 故选：C． 例4．（2023·高一课时练习）正方体中，、分别为、的中点，、分别是、的中点． (1)求证：E、F、B、D共面； (2)求证：平面平面． 【解析】（1）连接，由题意可得：分别为的中点，则， ∵，，则为平行四边形， ∴， 则，故E、F、B、D共面. （2）由题意可得：分别为的中点，则， ∵，则，且平面，平面， ∴平面， 连接，由题意可得：分别为的中点，则，， ∵，，则，，即为平行四边形， ∴， 平面，平面， ∴平面， ，平面， 故平面平面. 例5．（2023·全国·高二专题练习）在四棱锥中，底面，四边形为边长为的菱形，，，为中点，为的中点． (1)求证：直线平面； (2)求直线与所成角大小． 【解析】（1）取AD的中点E，连接NE，ME， 因为为中点，为的中点， 所以，， 因为平面PCD，平面PCD， 所以平面PCD，同理可得平面PCD， 因为，平面， 所以平面平面PCD， 因为平面MNE， 所以直线平面； （2）连接AC， 四边形为边长为的菱形，，所以， 由余弦定理得：， 因为，为中点，所以, 因为底面，平面ABCD， 所以PA⊥AC，PA⊥AD， 所以， ， 因为，所以直线与所成的角或其补角为直线与所成的角， 由余弦定理得：， 故直线与所成角的大小为. 例6．（2023·北京顺义·高二统考期末）如图，在三棱柱中，，且，底面，E为中点． (1)求证：； (2)求证：平面 【解析】（1）底面且平面， ， 又且，平面， 平面， 又平面， （2） 取的中点，连接， 因为分别为的中点可知，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面 例7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示