专题24 立体几何基础提分小题-2023年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

第24讲 立体几何基础提分小题 【考点预测】 1、表面积与体积计算公式 表面积 柱体 为直截面周长 椎体 台体 球 体积 柱体 椎体 台体 球 2、斜二测画法 斜二测画法的主要步骤如下: (1)建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的,建立直角坐标系. (2)画出斜坐标系.在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形.在已知图形平行于轴的线段,在直观图中画成平行于使(或),它们确定的平面表示水平平面. (3)画出对应图形.在已知图形平行于轴的线段,在直观图中画成平行于轴的线段,且长度保持不变;在已知图形平行于轴的线段,在直观图中画成平行于轴,且长度变为原来的一般.可简化为“横不变,纵减半”. (4)擦去辅助线.图画好后,要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线(虚线).被挡住的棱画虚线. 注: 直观图和平面图形的面积比为. 3、外接球与内切球 类型1：正方体或长方体外接球的球心在其体对角线的中点。 类型2：正棱柱或直棱柱(圆柱)的球心在上下底面外心连线中点处。 推论：垂面模型（一条直线垂直于一个平面）可补成直三菱柱或长方体。 公式：,（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理 类型3：正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）的球心在其顶点与底面外心连线线段(或延长线）上。 半径公式：（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理 类型4：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。 类型5：锥体的内切球问题 三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为，建立等式： 第三步：解出 【典例例题】 例1．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【解析】 如图，用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形， 因此截面的形状可能有：三角形、四边形、五边形、六边形， 不可能为七边形， 故选:D. 例2．（2023·高三课时练习）圆台的上、下底面半径分别为5cm和12cm，高为24cm，则圆台的母线长为（    ）． A．25cm B．30cm C．35cm D．36cm 【答案】A 【解析】如图是圆台的轴截面，圆台的上、下底面半径分别为5cm和12cm，高为24cm， 则该圆台的母线长为：； 故选：A． 例3．（2023·吉林长春·高三校考阶段练习）某全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为h（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为𝛼，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：km2），若，则S占地球表面积的百分比约为（    ） A．26% B．33% C．42% D．50% 【答案】B 【解析】设表示卫星，过作截面，截地球得大圆， 过作圆的切线,线段交圆于点， 如图，， 则又因为， 所以， 设地球表面积为， 所以， 故选:B. 例4．（2023·全国·高三专题练习）若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形中的长度为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】过点作,垂足为. 因为，，，； ，所以原四边形中的长度为2. 故选：B 例5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量粮食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为（    ） A． B．32 C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可知：该四棱台的侧面都是上底边长为2，下底边长为4的等腰梯形， 所以侧面的斜高为，则， 上下底底面面积分别为， 所以该四棱台的表面积为， 故选：. 例6．（2023·全国·高三专题练习）在正四棱锥中，，若正四棱锥的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【解析】如图，连接AC，BD，记，连接OP，所以平面ABCD. 取BC的中点E，连接. 因为正四棱锥的体积是8，所以，解得. 因为，所以在