专题23 复数经典问题-2023年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题23 复数经典问题 【考点预测】 一.基本概念 （1）叫虚数单位，满足 ，当时，. （2）形如的数叫复数，记作. ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数. ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，. 二.基本性质 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数. （3）. 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数. 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数. （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离. 【典例例题】 例1．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知复数，则的实部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以， 所以的实部为. 故选：A. 例2．（2023春·广东·高三统考开学考试）已知复数满足，其中为虚数单位，则的实部为（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】C 【解析】， 所以，， 的实部为0． 故选：C 例3．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知复平面内点对应的复数为z，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，则，其虚部为. 故选：B 例4．（2023·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）复数z满足：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则， 由得， ，解得， ． 故选：A． 例5．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知i为虚数单位，复数z的共轭复数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， ，则，， ∴. 故选：B. 例6．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）若复数是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】为纯虚数， ，， 故选：. 例7．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知，且为实数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为为实数，所以. 故选：A 例8．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】复数是纯虚数， ，且，故， . 故复数在复平面内对应的点在第一象限， 故选：A. 例9．（2023·浙江·高三期末）已知复数（其中i为虚数单位），若，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或5 【答案】C 【解析】由题意得，则， 所以，解得或， 故选：C 例10．（2023·四川乐山·统考一模）设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为 ，则（    ） A．   B． C． D． 【答案】B 【解析】复数z满足,即， 其几何意义为复平面内的点到点和点的距离相等， 即点的轨迹为和的垂直平分线， 即z在复平面内对应的点在直线上，故， 故选：B 例11．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是关于的方程的一个根,所以也是方程的根. 根据根与系数的关系可得 即得, 所以 故选:A. 例12．（2023·高三课时练习）若且，则的最小值为_______． 【答案】3 【解析】表示圆心为，半径为1的圆，而表示圆上的点到的距离， ∴最小值为圆心到点的距离减1，即最小值为， 如图所示． 故答案为：3． 例13．（2023·高三课时练习）已知复数，则______． 【答案】 【解析】， ∴， ∴. 故答案为：. 【技能提升训练】 一、单选题 1．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）若i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为（    ）． A． B．3 C． D．2 【答案】D 【解析】， 则， 则z的实部为. 故选：D. 2．（2023·湖南益阳·高三统考期末）设复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， ∵， ∴，即：， ∴， ∴ ∴. 故选：D. 3．（2023·山东德州·高三统考期末）已知复数z满足3z－1＝（z＋2）i，则z＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设复数，代入，有， 则，解得，∴. 故选：D 4．（2023·江苏南京·高三南京师范大学附属中