专题21 解三角形-2023年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题21 解三角形 【考点预测】 1、角的关系 2、正弦定理 为的外接圆的直径）. 　正弦定理的应用： ①已知两角及一边求解三角形. ②已知两边及其中一边的对角，求另一对角： 若,已知角Ａ求角Ｂ. 若,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）. 3、余弦定理 （已知两边a,b及夹角Ｃ求第三边c） （已知三边求角）. 余弦定理的应用： ①已知两边及夹角求解第三边； ②已知三边求角； ③已知两边及一边对角未知第三边. 4、三角形面积公式 【典例例题】 例1．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）在中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， ， 由正弦定理得， . 故选：B. 例2．（2023·全国·高一专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】对于A项，方法1：∵，， ∴， ∴由正弦定理得： ∴a、c值唯一确定， ∴只有一解. 方法2：如图所示， ∴只有一解.  故选项A错误； 对于B项，方法1：由余弦定理得：， ∴只有一解. 方法2：如图所示， ∴只有一解. 故选项B错误； 对于C项，方法1：由正弦定理得：，解得： 又∵  ∴角B有两个解.   方法2：如图所示， ∵， ∴， ∴角B有两个解.  故选项C正确； 对于D项 ，方法1：∵，∴，又∵，∴， ∴不存在这样的三角形. 方法2：如图所示， ∵， ∴ ∴此时A、B、C三点不能构成三角形.  故选项D错误； 故选：C. 例3．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 整理得， 因为，所以． 又，所以． 因为的面积为，， 所以，解得，， 所以，则． 故选:D. 例4．（2023·高三课时练习）设的内角、、所对的边分别为、、，已知，，且，则______. 【答案】5 【解析】由得, 由正弦定理以及得， 故由余弦定理得， 故答案为：5 例5．（2023·高三课时练习）在中，三边长分别为，，，则的面积为______. 【答案】3 【解析】由余弦定理得， 所以,故面积为, 故答案为：3 例6．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c且a：b：c=3：5：7，则___________. 【答案】 【解析】， ∴设， . 故答案为：. 例7．（2023秋·广东广州·高二华南师大附中校考期末）在中，，，且，求： (1)求的值； (2)求的面积． 【解析】（1）因为，由正弦定理得，，所以， 由余弦定理得，因为，， 所以，化简得，解得 或， 当时，，与题意不符合; 当时，，符合题意. 所以. （2）因为，， 所以，所以的面积 例8．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）在①，②D是边的中点且，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 问题：在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求A； (2)若__________，求的最大值． 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）因为，所以， 所以，则． 因为，所以． （2）选①,由余弦定理可得，即， 则． 因为，所以． 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 则，解得，即的最大值是8． 选②,因为D是边的中点，所以， 所以， 因为，且，所以，即． 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 则，解得，即的最大值是． 例9．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）在平面四边形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E，且，. (1)求BD的长； (2)求的值. 【解析】（1）在△中，由正弦定理得， 所以，所以，又因为， 所以， 所以． （2）在△中， ，因为， 所以，， 在△中，，，， 所以，所以， 所以 【技能提升训练】 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）在中，设命题p：，命题q：是等边三角形，那么命题p是命题q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由正弦定理可知，若t， 则， 即a＝tc，b＝ta，c＝bt， 即abc＝t3abc，即t＝1， 则a＝b＝c，即是等边三角形， 若是等边三角形，则A＝B＝C，则1成立， 即命题p是命题q的充要条件， 故选：C. 2．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以. 因为，所以. 故选：. 3．（2023春·广东·高三统考开学考试）在中，若，，，则