专题26 空间向量与立体几何的综合应用-2023年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题26 空间向量与立体几何的综合应用 【考点预测】 一、空间向量的数量积运算 1、两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，..，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作. 2、数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，. 3、空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）. 二、空间向量的坐标运算及应用 （1）设，，则； ； ； ； ； . （2）设，，则. 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标. （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式. ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则, 或者.其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式. （4）向量在向量上的射影为. （5）设是平面的一个法向量，，是内的两条相交直线，则，由此可求出一个法向量（向量及已知）. （6）利用空间向量证明线面平行：设是平面的一个法向量，为直线的方向向量，证明，（如图8-155所示）.已知直线（），平面的法向量，若，则. （7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量，，只要证明，即. （8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线. （9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直. （10）空间角公式. ①异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则. ②线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则. ③二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中. （11）点到平面的距离为，，为平面的法向量，则. 【典例例题】 例1．（2023春·河南濮阳·高三统考开学考试）在直三棱柱中，，且，若直线与侧面所成的角为，则异面直线与所成的角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直三棱柱，所以底面， 又因为，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，解得， 所以直线与侧面所成的角的正弦值， 解得， 所以，， 设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成的角的正弦值为. 故选：D 例2．（2023·高一课时练习）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则，解得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 故选：A 例3．（2023·全国·高三专题练习）长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ，， 设与的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，，即， 又， 所以异面直线与之间的距离为． 故选：D． 例4．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，棱AC，A1C1的中点分别为M，N． (1)求证：B1N⊥C1M； (2)求异面直线BN与C1M所成角的余弦值； (3)求平面A1BM与平面ABC1所成二面角的正弦值． 【解析】（1）连接，因为棱AC，A1C1的中点分别为M，N， 所以，因为正三棱柱侧棱与底面垂直，所以平面， 显然有 因为底面是正三角形，A1C1的中点为N， 所以，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设该正三棱柱的所有棱长为2， ， 因为； （2），， 异面直线BN与C1M所成角的余弦值为； （3）设平面A1BM的法向量为， ， 有， 设平面的法向量为， ， 则有， 所以平面A1BM与平面ABC1所成二面角的余弦值的平方为：， 因此平面A1BM与平面ABC1所成二面角的正弦值为：. 例5．（2023秋·广东广州·高二广州空港实验中学校考期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，，．且 (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点C到平面的距离． 【解析】（1）因为平面平面，交线为， 且平面中，， 所以平面， 又平面， 所以,因为，平面， 所以平面，而平面， 所以； （2）由（1）知，平面且， 所以、、两两垂直 因此以原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，设 所以，，，，， 因为平面平面，交线为，且平面中，， 所以平面， 所以为平面的法向量且， ， 因为直线与平面所成角的正弦值为 所以，解得： 所以，又，， 平面的法向量分别为：， 所以， 令，则， ，