存在性问题系列：相似三角形的存在性问题 2023九年级数学中考专题练习

存在性问题系列：相似三角形的存在性问题 2023九年级数学中考专题练习 1．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为t s，当t=　 时，△CPQ与△CBA相似． 2．如图，已知四边形中，，，，，点是边上使得的点，当　　 时，这样的点只有一个． 3.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E．下列结论： ①AD2=AE•AB； ②3.6≤AE＜10； ③当AD=2时，△ABD≌△DCE； ④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5． 其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，， 点的坐标为． （1）点的坐标为　 　； （2）在第二象限内是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存 在，请求出所有符台条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 5．如图，在四边形中，，．，，，动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为，． （1）用含的代数式表示； （2）当以点．，为顶点的三角形与相似时，求的值； 6．如图，平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，点从点 出发沿射线方向以每秒1个单位长的速度匀速运动，同时点从点出发沿射线 方向以每秒个单位长的速度匀速运动．设点、运动的时间是秒．过点作 于点，连接、，当为何值时，与相似. 7．如图，矩形的顶点、、都在坐标轴上，点的坐标为，是边的 中点． （1）求出点的坐标和的周长； （2）若是边上一个动点，它以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向向点 匀速运动，设运动时间为秒．是否存在某一时刻，使以、、为顶点的三角形与相似或全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 8．如图，矩形中，，，点是边上一定点，且． （1）当时，上存在点，使与相似，求的长度． （2）如图②，当时．用直尺和圆规在上作出所有使与相似的点 ．（不写作法，保留作图痕迹） （3）对于每一个确定的的值，上存在几个点，使得与相似？ 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点． （1）反比例函数的图象与直线交于第一象限内的，两点，当 时，求的值； （2）设线段的中点为，过作轴的垂线，垂足为点，交反比例函数的图 象于点，连接，，当以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似时，求的值． 10．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC=AC （1）求过点A，B的直线的函数表达式； （2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由． 11.如图1，点从菱形的顶点出发，沿匀速运动到点，的长是；图2是点运动时，的面积随时间变化的函数图象． （1）点的运动速度是　 　； （2）求的值； （3）如图3，在矩形中，，，若点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点到达点（即点与点重合）时，三个点随之停止运动；若点不改变运动速度，且点、、的运动速度的比为，在运动过程中，关于直线的对称图形是△，设点、、的运动时间为（单位：． ①当　　时，四边形为正方形； ②是否存在，使与相似，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 答案版： 1. 【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA， 所以，=， 即=， 解得t=4.8； CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB， 所以，=， 即=， 解得t=． 综上所述，当t=4.8或时，△CPQ与△CBA相似． 故答案为4.8或． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分情况讨论． 2. 【解答】解：，，， ， ， ， ， 设，则， ， 整理得， 由题意得△， △， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、一元二次方程根的判别式；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3． 【解答】解：①∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 又∵∠ADE=∠B ∴∠ADE=∠C， ∴△ADE∽△AC