第6讲 边角化求最值和范围 - 原卷版 讲义-2023届最优化的高三数学大题二轮复习

第六讲 边角互化求最值和范围 基本不等式法 基本不等式及其变形:(和化积). 变形结构一(平方和化积). 变形结构二:(积化和). 基本不等式法的核心在于找到和积关系式,利用基本不等式实现和积互化,进而求解最值. 和积关系式通常在以下式子中. (1)余弦定理及其变形:. (2)中线定理:. (是的边的中点) （3）中点向量模长公式:下面公式中,是的边的中点. 如果求解范围还要注意利用三角形两边之和大于第三边和两边之差小于第三边来确定范围.要注意在使用基本不等式时一定要验证等式成立的条件,即取最值. 其中已知对角和对边(和已知)求面积和周长范围的题型是最基本的也是最常规的,希望读者在下面的例题中总结出一般方法. 【例1】在中,角的对边分别为.已知,求的面积的最大值. 【例2】在中,内角对应的边分别为.若,求的最大值. 【例3】的内角的对边分别为.若的面积为,求的最小值. 【例4】在△ABC中，内角A,B,C所对的 函数法 解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”,解决这类问题的思路是全部转化为角的关系,建立函数关系式,如,并求出自变量的取值范围,进而求最值和范围,通常的步骤如下: 第一步:化角.设角度变量,利用正弦定理把所求变量转化成角. 第二步:统一变量.利用内角和,实现变量的统一,最终建立关于角的一元函数. 第三步:求范围.结合题设条件求出自变量角度范围,进而求解最终范围,通常给出的三角形为锐角三角形,这个条件是用来确定范围的. 【例1】在锐角中,,求的取值范围. 【例2】在锐角△ABC中，角4B.C所对的边分别是.已知,求的取值范围. 【例3】设的内角的对边分别为.已知为锐角三角形, 求的取值范围. 【例4】在△ABC中，角A,B,C的对边分别为.若为锐角三角形, ,,求的周长的取值范围. 【例5】在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为.若,求面积的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 边角互化求最值和范围 基本不等式法 基本不等式及其变形:(和化积). 变形结构一(平方和化积). 变形结构二:(积化和). 基本不等式法的核心在于找到和积关系式,利用基本不等式实现和积互化,进而求解最值. 和积关系式通常在以下式子中. (1)余弦定理及其变形:. (2)中线定理:. (是的边的中点) （3）中点向量模长公式:下面公式中,是的边的中点. 如果求解范围还要注意利用三角形两边之和大于第三边和两边之差小于第三边来确定范围.要注意在使用基本不等式时一定要验证等式成立的条件,即取最值. 其中已知对角和对边(和已知)求面积和周长范围的题型是最基本的也是最常规的,希望读者在下面的例题中总结出一般方法. 典型例题 【例1】在中,角的对边分别为.已知,求的面积的最大值. 【解析】将余弦定理代入题中已知算式得 . 又, , 当且仅当时取等号. . 即的最大值为. 【例2】在中,内角对应的边分别为.若,求的最大值. 【解析】由余弦定理得 由基本不等式可得, 解得,当且仅当时等号成立, 的最大值为. 【例3】的内角的对边分别为.若的面积为,求的最小值. 【解析】由,得. , . 由得 , ,当且仅当时,等号成立. 又,当且仅当时,等号成立. ,当且仅当时,等号成立. 即的最小值为. 【例4】在△ABC中，内角A,B,C所对的 边分别为.已知,求的取值范围。 【解析】由余弦定理可知,, 代入可得, 当且仅当时取等号,. 的取值范围是. 函数法 典型例题 解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”,解决这类问题的思路是全部转化为角的关系,建立函数关系式,如,并求出自变量的取值范围,进而求最值和范围,通常的步骤如下: 第一步:化角.设角度变量,利用正弦定理把所求变量转化成角. 第二步:统一变量.利用内角和,实现变量的统一,最终建立关于角的一元函数. 第三步:求范围.结合题设条件求出自变量角度范围,进而求解最终范围,通常给出的三角形为锐角三角形,这个条件是用来确定范围的. 【例1】在锐角中,,求 的取值范围. 【例2】在锐角△ABC中，角4B.C所对的边分别是.已知,求的取值范围. 【解析】 综上,的取值范围是. 【例3】设的内角的对边分别为.已知为锐角三角形, 求的取值范围. 【解析】由题设知, 【例4】在△ABC中，角A,B,C的对边分别为.若为锐角三角形, ,,求的周长的取值范围. 【解析】 【例5】在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为.若,求面积的取值范围. 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $