第4讲 边角互化求值与第5讲 判定形状 讲义-2023届最优化的高三数学大题二轮复习

第4讲 边角互化 边角互化求值 在解三角形题目中,若已知条件同时含有边和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,要选择“边化角”或“角化边”,变换原则有以下几类: (1)若式子含有“”的齐次式,优先考虑正弦定理,“角化边”. (2)若式子含有“”的齐次式,优先考虑正弦定理,“边化角”. (3)若式子含有“”的单个式子,考虑余弦定理,直接“角化边”. (4)若是含有面积公式的问题,要考虑结合正弦定理使用. (5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到来消角,即. (6)如果出现,通常去凑余弦定理. 注意:我们在解决边角关系式问题时通常就是两种思路,要么化为边,要么化为角.以下的例题基本上两种思路都可以,我只写了-种思路的解析,大家思考一下另外一种思路. 化边求值 【例1】在中,分别为角,的对边,且,求角. 【例2】在中,内角的对边的边长分别是.已知,求角的大小. 化角求值 【例1】△ABC的内角A,B,C的对边分 别为,已知,求角. 【例2】在中,内角所对的边分别为,已知,求角的大小. 【例3】在中,内角对应的边分别为,且满足,求. 第5讲 判定形状 所谓判定形状就是给出一个式子,通过化边、化角之后判定出三角形的形状,常用的结论如下. （1）若或者,则三角形为等腰三角形. （2）若或者且,则三角形为等边三角形. （3）若或者,则三角形为直角三角形.(4)若或者,则三角形为钝角三角形. (5)若则三角形为锐角角形. (6)若,可得或,即或,则三角形为等腰三角形或直角三角形. 化边判定形状 【例1】在中,分别是的对边,已知,试判断的形状. 【例2】在中,若,试判断该三角形的形状. 【例3】在中,,判断的形状. 化角判定形状 【例1】试判断下列三角形的形状,在中,已知,. 【例2】在中,若,试判断三角形的形状. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 边角互化 边角互化求值 在解三角形题目中,若已知条件同时含有边和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,要选择“边化角”或“角化边”,变换原则有以下几类: (1)若式子含有“”的齐次式,优先考虑正弦定理,“角化边”. (2)若式子含有“”的齐次式,优先考虑正弦定理,“边化角”. (3)若式子含有“”的单个式子,考虑余弦定理,直接“角化边”. (4)若是含有面积公式的问题,要考虑结合正弦定理使用. (5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到来消角,即. (6)如果出现,通常去凑余弦定理. 注意:我们在解决边角关系式问题时通常就是两种思路,要么化为边,要么化为角.以下的例题基本上两种思路都可以,我只写了-种思路的解析,大家思考一下另外一种思路. 化边求值 典型例题 【例1】在中,分别为角,的对边,且,求角. 【解析】 . ,即. 由余弦定理可得. . 【例2】在中,内角的对边的边长分别是.已知,求角的大小. 【解析】已知,化简得 , 由正弦定理得. 由余弦定理得. . 化角求值 典型例题 【例1】△ABC的内角A,B,C的对边分 别为,已知,求角. 【解析】已知,由正弦定理得, 整理得, 在中,.化简后得, 【例2】在中,内角所对的边分别为,已知,求角的大小. 【解析】 由余弦定理得.即. 由正弦定理得, 即, , , 即. .化简得. . 【例3】在中,内角对应的边分别为,且满足,求. 【解析】由题意得. 由正弦定理得•, . . , , . . , . 化简得. 第5讲 判定形状 所谓判定形状就是给出一个式子,通过化边、化角之后判定出三角形的形状,常用的结论如下. （1）若或者,则三角形为等腰三角形. （2）若或者且,则三角形为等边三角形. （3）若或者,则三角形为直角三角形.(4)若或者,则三角形为钝角三角形. (5)若则三角形为锐角角形. (6)若,可得或,即或,则三角形为等腰三角形或直角三角形. 化边判定形状 典型例题 【例1】在中,分别是的对边,已知,试判断的形状. 【解析】将余弦定理代入得 ,即. 是等腰三角形. 【例2】在中,若,试判断该三角形的形状. 【解析】由及余弦定理可得 整理得. . . . . 由于,所以,所以,所以为直角三角形. 【例3】在中,,判断的形状. 【解析】由题意得•. 由正弦定理知•.再根据余弦定理有。 . 化简得0,即或. 所以是等腰三角形或直角三角形. 化角判定形状 典型例题 【例1】试判断下列三角形的形状,在中,已知,. 【解析】由得.整理得, , . 由,得,即 , , . 为三角形的内角,. 综上所述,为等边三角形. 【例2】在中,若,试判断三角形的形状. 【解析】, . 由正弦定理可知,. 即, ,或, 即或. 故是等腰三角形或直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $