2022年ELMO数学竞赛试题

2022年ELMO试题解答与评析 2022年ELM0于6月11日和19日举行.本次赛题质量高，整体难度与我 国CM0基本相当，其中1,4,5题是简单题，2,3题是中等偏难的问题，第6题 则是困难的问题.题目整体复杂，要求选手具有清晰的思维和较强的计算能力， 十分适合作为备战CMO的训练题.囿于水平，本文如有不当之处，还请各位读 者批评指正. I.试题 1.黑板上写有整数1,2，·，n(n>1).甲乙两人轮流每次在黑板上圈出 一个未被圈出的数，若某人圈出一个数后黑板上所有圈出的数的乘积被整除， 此人输掉游戏.问：对哪些，乙有必胜策略？ 2.求所有非常值的首一整系数多项式P,使得存在正整数a和m满足：对 所有正整数n≡a(modm),P(n)非零且 2022. (n+1)m+1-nn P(n) 是一个整数. 3.设P是面积为1的正2022边形.求实数c满足：如果点A,B是P边 界上随机独立等分布选取的两个点，那么AB≥c的概率是 4.设ABCDE是凸五边形，△ABE,△BEC和△EDB都按对应顶点相 似.直线BE和CD交于点T.证明：直线AT和△ACD外接圆相切， 5.ELMO社交平台上有n3(n≥3)个用户，用户之间的好友是相互的.大 于等于3个相互为好友的用户的集合称为一个ELMO俱乐部.已知任意n个 修订日期：2022-10-27. 用户中，至少有三个用户构成的集合是一个ELMO俱乐部.证明：存在一个有 五个成员的ELMO俱乐部. 6.求所有函数f:Z→Z满足：对所有整数m和n,都有 f(f(m)-n)+f(f(n)-m)=f(m+n). II.解答与评注 题1黑板上写有整数1,2，·，n(n>1).甲乙两人轮流每次在黑板上圈 出一个未被圈出的数，若某人圈出一个数后黑板上所有圈出的数的乘积被整 除，此人输掉游戏.问对哪些，乙有必胜策略？ 解所求n为全体大于1的无平方因子的奇数. (1)n有平方因子：则存在素数p使p2|n.设n=pt,t∈N*.下面说明甲 有必胜策略：甲圈数pt,则下一个圈出p的倍数的人输掉游戏，而1到n中不为 p的倍数的有pt一pt=p(p-1)t个，是偶数个.由乙先圈，故乙负 (2)n为无平方因子的偶数：设n=2k,k∈N*,由n无平方因子知2十k. 下面说明甲必胜：甲圈数k,则接下来圈偶数者负.而1到中有k个奇数，甲 圈出后还剩k一1个，是偶数个，故乙负， (3)n为无平方因子的奇数：设n=p1p2…p,其中p(1≤i≤)为互 异的奇素数.下面说明乙必胜：设甲圈数a,若p:|a对1≤i≤1成立，则 n|a,甲负；否则不妨设p1十a.若a=p2…p1,则乙圈2p2…p1<;否则乙 圈p2·p.则甲、乙均未圈p1倍数，且再圈p1倍数者负.而未圈的数中仍有 (p1…p-p2…-2)个数不为p1倍数，是偶数个，此时甲先取，故乙胜.口 评注本题大致与全国高中联赛第二题难度相当，属于较简单的双人操作问 题.稍加尝试后即可发现甲乙两人的最优策略均是取尽可能大的的因子，让 余下可取的数有限.从而在情况(1)，(2)下甲均可直接获胜，而在(3)时乙只需 根据甲的取数，只保留一个素因子即可.整体思路简单自然，只用统计奇偶便能 判定胜负 题2求所有非常值的首一整系数多项式P,使得存在正整数a和m满足： 对所有正整数n三a(modm),P(m)非零且 2022.(m+1)m+1-n P(n) 2 是一个整数. 解所求为P(x)=(x2+x+1)“,a=1,2. 设n=em+a,k∈N*,则P(n)=P(km十a)为关于k的整系数多项式， 由Schur引理，P(km+a)的素因子集为无限集 取充分大的素数p使(p,2022)=1,且存在正整数n三a(modm)使得 pP(n,则p|P(n+mp).由条件知： p (n+1)m+i-n",pl(n+1)nt1tmp-nntmp=pn"((n+1)m-nm). 又由p(n+1)+1-n"知p十n(m+1),从而p(n+1)m-nm. 代入n=km+a,有 p|(n+1)m.(m+1)a+1-nm.n今pl(n+1)a+1-n. 综合以上两式，有 nma+1)≡(n+1)m(a+=nma(modp)→p|nm-1, 设多项式f(c)=xm-1,9(x)=(x+1)a+1-x,记gcd(f(c),g(x)=d(x. 对于多项式d(x)的根w,有lw=1,lw+1=1,从而w=exp(仕号πi).由实系 数多项式的虚根成对定理，结合f首一，可设d(x)=(x2+x十1)“，a∈N. 由Bezout定理，存在N∈N*,r(x),s(x)∈Zxl使 f(x)r(x)+g(x)s(x)=Nd(x). 结合以上知pN·d(n).又p充分大，故d(x)非常数，a≥1.取p>N得 pn2+n+1.