2022年乌克兰基辅市数学奥林匹克试题

2022年基辅市数学奥林匹克试题解析 本文是笔者对于2022年基辅市数学奥林匹克试题的一些解法与理解，笔者 水平有限，望广大读者批评指正. I.试题 十年级 1.正实数x,y,之满足条件 xy+1y2+12x+1 x+1y+1之+11 它们是否必须全部相等？ 2.2022个点排列在一个圆周上，其中一个为黑色，其余为白色.在每次操作 中，刺猬可以执行一下操作之一： (1)选择两个颜色相同的相邻点，改变它们的颜色（白变黑，黑变白）： (2)选择两个颜色不同的相间点（两点之间恰有一个点），改变它们的颜色. 是否能通过上述操作将每个点的颜色均变成与初始颜色相反？ 3.AHA,BHB,CHc为△ABC的三条高.求证：若 HBC HcA AC AB 则BC关于HBHc的对称直线和△HBHCA的外接圆相切 4.素数p>2,整系数多项式Q满足：不存在整数1≤i<)≤p-1使得 (Q(）-Q(i)(Q()-iQ(i) 能被p整除.求Q的次数的最小可能值， 修订日期：2022-08-17. 1 十一年级 5.给定整数n,k,onica和Bogdan进行一个游戏.首先Monica写下k个 正数，如果Bogdan能在平面上找到具有如下性质的n个点，则Bogdan获胜：对 于Monica写下的任意数字m,存在Bogdan选择的两个点，其距离恰好为m;否 则Monica获胜， 根据，k的取值确定谁有必胜策略， 6.起初，计算机的内存中包含一个多项式x2-1.每一分钟，计算机从其内 存中选择任意多项式f(x),并向内存中写入f(x2-1)和f(x)-1,或者从其内 存中选择两个不同多项式g(x)和h(x),并向内存中写入@@（在这过程中不 会删去任何多项式).在某段时间后，计算机的内存中是否可能存在多项式 Pr=2-1-1P 7.求最大的k,满足存在1,2，…，2022的一个排列(@1，a2,…,a2022),使 得至少有k个不同的1≤i≤2022，满足 a1+a2+…·+ai 1+2+···+i 为大于1的整数， 8.ABCD为圆内接四边形.平行于BD的直线L和△ABC,△CDA的内 切圆均相切.求证：L经过△BCD或△DAB的内心 II.解答与评注 题1正实数x,y,之满足条件 xy+1y2+1x+1 x+1y+1之+1 它们是否必须全部相等？ 解它们是全相等的.证明我们分两种情况讨论： 情形1：若x,,之中有两个数相等，不妨设x=,故 xy+1 yz+1 zy+1 x+1y+1z+1 结合x,y,之为正实数，从而x=y=之. 情形2：若x,y,之两两不同，设 xy+1_2+1=2+1=t>0. x+1y+12+1 2 由合分比定理，我们有 t=（wy+-g+)=z-=g-刘_2- (x+1)-(y+1) x-yy-之 不妨设max{x,y,}=x (1)x>y>,则四<0，矛盾！ U- (2)x>之>，则<0，矛盾副 综上所述，必有x=y=之成立 口 评注此题是简单的，处理方式多样，这里选择较为简洁的合分比做法， 题22022个点排列在一个圆周上，其中一个为黑色，其余为白色.在每次 操作中，刺猬可以执行一下操作之一： (1)选择两个颜色相同的相邻点，改变它们的颜色（白变黑，黑变白）： (2)选择两个颜色不同的相间点（两点之间恰有一个点），改变它们的颜色 是否能通过上述操作将每个点的颜色均变成与初始颜色相反？ 解答案是否定的 我们以初始状态下的黑色点为第1位，顺时针依次记为1,2，··，2022位. 记S为奇数位上的黑点个数与偶数位上的黑点个数之差，则在初始状态下 S=1. 注意到在进行一次操作(1)后，奇偶位上的黑点数同时加1或同时减1，故 S不变；在进行一次操作(2)后，在奇数或偶数位上黑点个数加1然后减1，总体 个数保持不变，故S亦不变， 从而S总是1.但如果能使每个点反色，反色后S=一1，矛盾！ 综上所述，不能通过有限次操作使得原题中每个点反色 ▣ 评注此题是一个简单的组合操作题，我们通常通过构造不变量或单调变 化的量来处理这类问题，而此题关注奇偶位置容易得到不变量 题3AH4,BHB,CHc为△ABC的三条高.求证：若 HBC HcA AC AB' 则BC关于HBHc的对称直线和△HBHcA的外接圆相切， 证明1设△ABC垂心为H,HBHc中点为M,AH中点为O,知O为 ⊙(AHBHc)圆心.O关于HBHc对称点为O'.O',M,HB,Hc在BC上投影分 别为N,X,V,U. 3 由于⊙(AHBHc)关于HBHc对称圆为以O'为圆心，O'HB为半径的圆 ⊙O',故原题等价于证明⊙O'与BC相切，也即 O'N=O'HB. 而M为OO'中点，故MX为梯形ONH4O的中位线，从而 O'N=2MX-OHA, 又M为HBHc中点，故： BHC AHA