2021年第62届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）预选题及解析

2021 年 IMO 预选题试题及解析 每年，世界各国会有大量的命题寄送到国际数学奥林匹克组委会，组委会 会选出里面比较不错的题目组成 longlist，然后进一步筛选组成 shortlist，最终 经过领队投票，从 shortlist 里选出六道题目作为当年的 IMO 考题。这里的 shortlist 我们一般简称为 IMOSL，也叫”imo 预选题“，会发给各国领队参考 可以用于下一年的训练，选拔等。IMOSL 一般题目优美，新颖，难度从低到高， 是数学竞赛爱好者不可多得的好资料，非常适合作为参加 CMO，TST 前的练 习。 今年的 IMOSL 与往年风格非常不同，考察了大量往年不会考察的问题. 个人觉得对中国学生而言：A4,A7,A8,G7,G8,N8,C6 是值得仔细研究的题 目. 我个人最喜欢的题目是 C6, 非常优雅而具有美感. I. 试题 代数 (Algebra) A1. 设 n 是正整数, A 为 {0, 1, · · · , 5n} 的一个 4n + 2 元子集. 证明: 存在A 中的元素 a < b < c, 满足 c + 2a > 3b. A2. 求所有的正整数 n, 使得 n∑ i=1 n∑ j=1 [ ij n+ 1 ] = n2(n− 1) 4 A3. 给定正整数 n. 设 a1, a2, · · · , an 是 1, 2, · · · , n的一个排列,求 n∑ k=1 [ak k ] 的最小值. 1 A4. 设 n 是正整数, x1, x2, · · · , xn 是实数. 证明: n∑ i=1 n∑ j=1 » |xi − xj| ≤ n∑ i=1 n∑ j=1 » |xi + xj| A5. 设整数 n ≥ 2, 正实数 a1, a2, · · · , an 满足 a1 + a2 + · · ·+ an = 1, 证明: n∑ k=1 ak 1− ak (a1 + a2 + · · ·+ ak−1)2 < 1 3 A6. 设整数 m ≥ 2. 集合 A 由有限个整数组成, B1, B2, · · · , Bm 是 A 的子 集. 若对于任意 1 ≤ k ≤ m, Bk 中的所有元素之和为 mk, 证明: A 中至少包含 m 2 个元素. A7. 设 n 是正整数. x0, x1, · · · , xn+1 是非负实数, 满足 xixi+1 − x2i−1 ≥ 1 对任意 i = 1, 2, · · · , n 成立. 证明: x0 + x1 + · · ·+ xn+1 > ( 2n 3 ) 3 2 A8. 求所有函数 f : R → R, 满足对于任意实数 a, b, c, 均有 (f(a)− f(b))(f(b)− f(c))(f(c)− f(a)) = f(ab2 + bc2 + ca2)− f(a2b+ b2c+ c2a) 组合 (Combinatorics) C1. 设 S 是一个无穷正整数集合, 且存在两两不同的 a, b, c, d ∈ S, 满 足 gcd(a, b) ̸= gcd(c, d). 证明: 存在两两不同的 x, y, z ∈ S, 满足 gcd(x, y) = gcd(y, z) ̸= gcd(z, x). C2. 给定不小于 3 的正整数 n. 在环形项链上有 m ≥ n + 1 颗珠子. 用 n 种颜色对珠子染色, 使得在任意连续的 n + 1 颗珠子中所有颜色都至少出现一 次. 求最大的正整数 m, 使得该要求无法实现. C3. 两只松鼠 B 和 J 为过冬收集了 2021 枚核桃. J 将它们依次编号为 1 至 2021, 并在一棵树的周围挖了一圈共 2021 个小坑. 第二天早上, J 发现 B 已 经在每个小坑中放入了一枚核桃, 但并未注意编号. J 决定用 2021 次操作来改 变这些核桃的位置. 在第 k 次操作中, J 把与第 k 号核桃相邻的两枚核桃交换 位置. 证明: 存在某个 k, 使得在第 k 次操作中, J 交换了两枚编号为 a, b 的核 桃, 且 a < k < b. C4. 在一个国家中有 n 座城市, 任意两座城市之间恰有一条单向道路. 一 条从 X 至 Y 的路径是指经过一系列道路, 使得可以从 X 沿着这些道路到达 Y , 且不经过重复的城市. 称一个路径集合是多样的, 如果任何道路不属于集合 中多于一条路径. 对于两座不同城市 A,B, 定义 NAB 为从 A 到 B 的多样的路 2 径集合中路径个数的最大值. 证明: NAB = NBA 当且仅当从 A 出发的道路数 与从 B 出发的道路数相同. C5. 设整数 n > k ≥ 1. 有 2n+ 1 位同学围成一圈, 每个同学都有 2k 个邻 居, 即左右两边与他