7.1.2 复数的几何意义-2022-2023学年高一数学同步教学课件（人教A版2019必修第二册）

7.1.2复数的几何意义 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示．复数有什么几何意义呢？ 思考? 根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对(a, b)唯一确定；反之也对. 你能想到复数的几何表示方法吗？ 因为任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对(a , b)唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对. 所以复数z=a+bi与有序实数对(a, b)是一一对应的. 而有序实数对 (a , b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点可以建立一一对应关系。 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a , b)表示。 O x y b a 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 例如，复平面内原点(0, 0)表示实数0，实轴上的点(2, 0)表示实数2，虚轴上的点(0, -1)表示纯虚数 ，点(-2, 3)表示复数 等. 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应； 反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 由此可知，复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系 这是复数的一种几何意义． O x y b a 思考？在平面直角坐标系中, 每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示, 而有序实数对与复数是一一对应的. 你能用平面向量来表示复数吗？ O x y b a 这是复数的另一种几何意义． 图中向量的模叫做复数 z=a+bi的模或绝值，记作|z|或 |a+bi|. 即==， 其中a, b∈R。 如果b=0，那么z=a+bi是一 个实数a，它的模就等于（a的绝对值）. O x y b a 在本书的第六章，我们提到复数的这种几何表示是由韦塞尔在1797年提出的．后来，阿尔冈出书对此进行讨论，并得到高斯的认同，因此这种几何表示也称阿尔冈图．正是这种直观的几何表示，揭开了复数的神秘的、不可思议的“面妙”，确立了复数在数学中的地位． 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 复数z的共轭复数用表示 , 即如果z=a+bi，那么=a-bi。 实数 的共轭复数仍是 本身. 设复数 在复平面内所对应的点为， 在复平面内对应的点为 ，如图所示，它们关于实轴对称. O x y 1 O x y 1 2 归纳小结 1、复数的几何意义 2、复数的模或绝对值 ==，其中a, b∈R。 3、共轭复数 复数z的共轭复数用表示 , 即如果z=a+bi，那么=a-bi。 练习 1．说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小方格的边长为1)． O x y 2．在复平面内，描出表示下列复数的点： O x y （1）这些复数对应的向 量分别如图所示： $