热点5-2 平面向量数量积及应用6大题型-2023年高考数学【热点•重点•难点】专练（新高考专用）

热点5-2 平面向量数量积及应用6大题型 平面向量属于高考的必考内容，主要以客观题的形式出现，也与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等。本部分考题综合性较强，强调模、数量积、坐标运算等向量固有的知识，对向量几何模的研究比较透彻。考生在复习过程中，要重点理解向量数量积的含义，掌握数量积的坐标表示，能灵活运用定义法、坐标法、基底法解决常见的数量积问题。 一、求向量数量积的3种常规方法 1、定义法求平面向量的数量积 （1）方法依据：，其中是两个向量，的夹角； （2）适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角。 2、基底法求平面向量的数量积 （1）方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解； （2）适用范围：直接利用定义求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解。 3、坐标法求平面向量的数量积 （1）方法依据：，，则 （2）适用范围：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积，例如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时。 二、解决向量投影问题应注意以下3点 1、向量在方向上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量且与共线，其方向由与的夹角的余弦决定； 2、向量在方向上的投影向量为； 3、注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，即在方向上的投影向量可以表示为 三、求向量的模或其范围的方法 1、定义法：，； 2、坐标法：设，则； 3、几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解。 【注意】（1）形如的向量的模，可通过平方转化为数量的运算； （2）用定义法或坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合思想，常用三角不等式进行最值求解。 【题型1 平面向量的数量积运算】 【例1】（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）已知，，，则（ ） A． B． C．8 D．16 【变式1-1】（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ） A． B． C． D．1 【变式1-2】（2023春·四川广安·高三校考开学考试）如图，在边长为4的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（ ） A． B． C． D．– 3 【变式1-3】（2023秋·山东烟台·高三统考期末）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的点且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）在平面直角坐标系中，向量满足 则 __________ 【变式1-5】（2021·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）在四边形ABCD中，，，，，点E在线段CB的延长线上，且，则______. 【题型2 平面向量的投影及投影向量】 【例2】（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知向量，的夹角为，，，则向量在向量方向上的投影为（ ） A．4 B． C． D． 【变式2-1】（2023·全国·模拟预测）平面上有两个非零向量和，则“在方向上投影大于0”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，若与的夹角为，则在方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·甘肃兰州·校考一模）已知向量满足，，，则向量在向量上的投影为______． 【变式2-4】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、满足，，则在方向上的数量投影的最小值是______. 【题型3 平面向量的夹角问题】 【例3】（2023春·山东济南·高三统考开学考试）已知向量，满足，，则向量，的夹角为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2022秋·山西·高三校联考阶段练习）若两个向量、