锐角三角函数和相似三角形讲义 2023年九年级数学中考复习

春季 锐角三角函数和相似三角形 2023九年级数学中考复习 【例1】 （2021•黑龙江中考）如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的值为　　 A．1 B．2 C． D． 【例2】 （2021•淄博中考）如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若，的面积为5，则的值 为　　 A． B． C． D． 【例3】 （2021•宜宾中考）如图，在中，点是角平分线、的交点，若，，则的值是　　 A． B．2 C． D． 【例4】 （2020秋•松北区期末）如图，在中，，点在上，连接，于点，连接，，若，则的值为　　 ． 【例5】 （2021•宜兴市模拟）如图，在中，，，，，连接，则长的最大值是　　 A． B． C． D． 【例6】 （2020•张家港市模拟）如图，已知，两点的坐标分别为，，点，分别是直线和轴上的动点，，点是线段的中点，连接交轴于点，当面积取得最小值时，的值是　　 A． B． C． D． 【例7】 （2019•苏州模拟）已知： 如图，中，，，，点是斜边上任意一点， 联结，过点作，垂足为点，联结，使得，联结． （1） 求证：； （2） 设，四边形的面积为，求与之间的函数关系式及的取值范围； （3） 当时， 求的值 ． 【例8】 （2021•苏州）如图，在矩形中，线段、分别平行于、，它们相交于点，点、分别在线段、上，，，连接、，与相交于点．已知，设，． （1）四边形的面积 　　 四边形的面积（填“”、“ ”或“” （2）求证：△△； （3）设四边形的面积为，四边形的面积为，求的值． 【例9】 （2018•常熟市一模）如图，四边形是矩形，点是对角线上一动点（不与、重合），连接，过点作，交射线于点，已知，．设的长为． （1）　 　；当时，　 　； （2）①试探究：是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； ②连接，设的面积为，求的最小值． （3）当是等腰三角形时．请求出的值； 巩固练习： 考1. 在中，，，，则线段的长为 　 　． 考2. （2021•罗湖区模拟）定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角 的正对．记作，即底边：腰，如图，在中，，，则　　． 考3. （2020•吴江区一模）如图1，点从菱形的顶点出发，沿匀速运 动到点，的长是；图2是点运动时，的面积随时间变化的函数图象． （1）点的运动速度是　 　； （2）求的值； （3）如图3，在矩形中，，，若点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点到达点（即点与点重合）时，三个点随之停止运动；若点不改变运动速度，且点、、的运动速度的比为，在运动过程中，关于直线的对称图形是△，设点、、的运动时间为（单位：． ①当　　时，四边形为正方形； ②是否存在，使与相似，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 答案版： 【例1】 【解答】解：过点作，交的延长线于点， ，， ， ， ， ， 在中， 由于，设，则， 又， ，， ， 故选：． 【例2】 【解答】解：连接， 是斜边上的中线，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：． 【例3】 【解答】解：如图： 作于， ，平分． ．． 根据勾股定理得：． 平分． ，，． 设，则，在中，根据勾股定理得： ． ． ． 在中，． 法二：在求出后 ． ． ． ． ． 故选：． 【例4】 【解答】解：在上截取，连接，如图： ，， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 为直角三角形， 由勾股定理得： ， ． 故答案为：． 【例5】 【解答】解：如图，在的下方作，使得，，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最大值为， 故选：． 【例6】 【解答】解：如图，设直线交轴于．由题意， 点的运动轨迹是以为圆心，5为半径的圆， 当直线与相切时，的面积最小， 是切线，点是切点， ， ，， ， ， ， ， ， 作于． ， ， ． 故选：． 【例7】 【解答】（1） 证明：，， ， ， 即：， ，， ， ， 即； （2） 解：，，， ， ， ， 即， 过作于， ， ， ； （3） 解：， ，， ，， 解得：，或， ， 当时，，， ， ， 当时，，， ， ， 综上所述：或 3 ． 【例8】 【解答】解：（1）四边形为矩形， ， ， ，， ， ， 四边形为矩形， 同理可得，四边形、、均为矩形， ，，， ，，，， 四边形的面积，四边形的面积， 故答案为：； （2），， 由（1）知，， ， 即， 又， △△， ， ， △△； （3）连接、， ，， ， ， △， ，， 由（2）中△△，得， ， ， △， ， ，， ， ． 【例9】 【解答】解：（1）作于交