2023年中考九年级数学高频考点提升练习--相似三角形的综合题

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--相似三角形的综合题 1．如图，已知一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，二次函数 经过点 ，且与一次函数 的图象交于点 . （1）求一次函数与二次函数的解析式. （2）在 轴上是否存在点 ，使得以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 2．将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（﹣3，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标； （3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图 （1）（感知）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证： = . （2）（探究）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且 = ，连接BG交CD于点H.求证：BH=GH. （3）（拓展）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且 = ，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G.求证：BG=CG. 4．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E. （1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB=AC= ，分别求出线设BD、CE和DE的长； （2）规律探究： （Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由； （Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由； （3）尝试应用：在图③中，延长线设BD交线段AC于点F，若CE=3，DE=1，求S△BFC． 5．如图，在Rt ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2 ，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CF. （1）如图1所示，求证 ABE∼ CBF，并直接写出 的值； （2）在正方形BDEF绕点B旋转过程中，当A、E、F三点共线时，求CF的长； （3）如图2所示，在正方形BDEF旋转过程中，设AE的中点为M，连接FM，请直接写出FM长度的最大值. 6．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连结AD，若 ，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”. （1）如图2，△ABC的顶点是 网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”. （2）△ABC中，BC=9， ， ，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长. （3）如图3，△ABC是 的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交 于点D. ①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”. ②若 的半径为9，∠ABD=90°，OH=6，请直接写出 的值. 7．已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P． （1）求证：AD=DE； （2）若CE=2，求线段CD的长； （3）在（2）的条件下，求△DPE的面积． 8．如图，已知AC为⊙O的直径，连接AB，BC，OB，过点O作OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF，BF. （1）如图1，设⊙O的半径为2，若∠BAC＝30°，求线段EF的长. （2）如图2，设BO交EF于点P，延长BO交⊙O于点D，连接DF. ①求证：PE＝PF； ②若DF＝EF，求∠BAC的度数. 9．如图1，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB＝8，AD＝10，并设点B坐标为（m，0），其中m＜0. （1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）； （2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值； （3）如图2，设抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM＝90°，求a、h、m的值. 10．综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，