浅谈高中数学解析几何解题能力的培养-2023届高三数学二轮复习讲义

浅谈高中数学中解析几何解题能力的培养 大理一中 雷蕾 解析几何是 17 世纪数学发展的重要成果之一，其本质是用代数的方法研究图形的几何性质，体现了 数形结合的思想。高中阶段主要研究二元二次方程所表示道的曲线，比如圆、椭圆、双曲线、抛物线等。 “解析几何思想”代表了研究曲线和曲面的一般方法和手段，即用代数为工具解决几何问题。用解析几 何的思想方法来研究几何问题，思维过程可以表示为以下步骤:第一，用代数的语言来描述几何图形，例 如“点”可以用“数对”表示，“曲线”可以用方程表示等；第二，把几何问题转化为代数问题；第三， 实施代数运算，求解代数问题；第四，将代数解转化为几何结论。 解析几何是研究图形的学科，“图”在解析几何研究中，发挥着和重要的作用。教师应在解析几何的 教学中，帮助学生养成画图的习惯，促进“数形结合”思想的逐步形成。在解决解析几何问题时，要注重 “数”与“形”的统一，在计算时，要结合图形自身的特点，充分挖掘图形的几何结论，这往往是解决问 题的突破口和简化解题过程的有效方法。 对于解析几何解题能力的培养，我想从以下几方面谈一谈。 一、数学的构成：知识＋方法＋思想 1、知识：基础知识＋拓展知识 基础知识： 教材 (包括全初等数学领域)； 扩展知识：三个误区 （1）不用拓展：① 影响解题速度，降低效率 ②高考是选拔考试，其要求高于“学业水平考试” （2）多多益善： ①浪费时间、精力 ②太多就用不好 （3）为知识而知识：不讲来龙去脉、不讲应用价值 最重要的数学方法、数学思想来源于知识的研究和推导过程 2、 方法：基本方法 3、 思想： （1）方程与方程组的思想 （2）数学结合的思想（3）函数的思想…… 二、解析几何解题三要素 1、 分析已知、未知，寻找合理有效解题思路 （1）对已知的分析：已知条件有什么用？ (几何？代数？) （2）对未知的分析：要求的怎么求？ （3）三种常见的方法： ① 几何法：基础知识与几何意识 ② 坐标法：重要结论 ③ 联立方程组：解题思路 2、有效推理计算 （1）洞察计算难点（2）优化计算过程：代数化简（3）总结计算技巧 3、 注意细节：①… ②… ③… 三、例题讲解 例 1、（2014 年新课标Ⅰ）已知点 ，圆 : ，过点 的动直线 与圆 交于 两 点，线段 的中点为 ， 为坐标原点. (1)求 的轨迹方程； (2)当 时，求 的方程及 的面积。 分析：①画图：将文字语言转化为图形语言 ②已知中的条件“线段 的中点为 ”怎么用？ ）可解（方法一： 10 MPCMMPCM ）可解（为直径的圆上在以点方法二： 1 CPMMPCM ③（2）中的条件“ ”怎么用？ 的方程点斜式斜率方法一：垂直平分线 l 的方程两圆方程相减在两个圆上，方法二：点 lMP  解：（1）圆C的方程可化为 2 2( 4) 16x y   ，所以圆心为 (0, 4)C ，半径为 4， 方法一：设 ( , )M x y ，则 ( , 4)CM x y   ， (2 , 2 )MP x y    ， 由题设知 • 0CM MP    ，故 (2 ) ( 4)(2 ) 0x x y y     ，即 2 2( 1) ( 3) 2x y    . 由于点 P在圆C的内部，所以 M点 的轨迹方程是 2 2( 1) ( 3) 2x y    . 方法二：           23104202 22   yxyyxx PCMMPCM 为直径的圆上在以点 （2）由（1）可知的 M点 轨迹是以点 (1,3)N 为圆心， 2 为半径的圆. 方法一：由于 OP OM ，故O在线段PM 的垂直平分线上，又 P在圆 N 上，从而ON PM . 因为 3ONk ，所以 l的斜率为 1 3  ，故 l的方程为 1 8 3 3 y x   即 083  yx 又 2 2OP OM  ，O 到 l的距离为 4 10 5 ， 4 10 5 PM  ，所以 POM 的面积为 16 5 . 方法二：由于 OP OM ，所以 为半径的圆上为圆心，在以、点 OPOMP 即在圆 822  yx 上，     上也在、点 231 22  yxMP 两圆方程相减得， 083  yx 即为 l的方程 dddddPMSdlO POM  22 882 2 1 2 1 ，则的距离为到直线设点 5 104 d 5 16  POMS 例 2．（2018 年全国卷Ⅲ理数）已知斜率为 k的直线 l与椭圆 2 2 1 4 3 x yC  ： 交于A，