第10章 三角恒等变换 单元检测卷-2022-2023学年高一数学新教材同步题型+能力+素养练（苏教版2019必修第二册）

第10章 三角恒等变换 单元检测卷 一、选择题:本大题共8小题，每小题3分，共24分。 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【点拨】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 2．函数是（ ） A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 【答案】D 【点拨】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值. 【详解】由题意，，所以该函数为偶函数， 又， 所以当时，取最大值. 故选：D. 3．古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示.若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用二倍角公式可求三角函数的值． 【详解】根据题中的条件可得. 故选：A． 4．函数ƒ(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分别是（    ） A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2 【答案】A 【点拨】利用三角恒等变换化简，再求最小正周期和振幅即可. 【详解】ƒ(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin， 所以振幅为1，最小正周期为T＝＝＝π， 故选：A． 5．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【点拨】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 6．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【点拨】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 ， ，，，解得， ，. 故选：A. 7．在锐角中，已知，则下列正确的结论为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【点拨】利用两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可求出角的值，即可得出结论. 【详解】因为， 所以，， 因为为锐角，则，则，故， 因为为锐角，故. 故选：A. 8．设△的三边长为，，，若，，则△是（    ）． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【点拨】若三角形各边长为a、b、c且内切圆半径为r， 法一：由内切圆的性质有、，根据边角关系可得或，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系； 法二：由半角正切公式、正弦定理可得或，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状. 【详解】设，△的内切圆半径为r，如图所示， 法一： ∴①；②. ①÷②，得：，即． 于是， ，， 从而得或， ∴或．故△为等腰三角形或直角三角形， （1）当时，内心I在等腰三角形的底边上的高上， ，从而得． 又，代入①式，得，即， 上式两边同时平方，得：，化简，即．即△直角三角形， ∴△为等腰直角三角形． （2）当时，易得． 代入②式，得，此式恒成立， 综上，△为直角三角形． 法二： 利用，及正弦定理和题设条件，得①，②. ∴③；④. 由③和④得：，即，， 因为为三角形内角， ∴或，即或． （1）若，代入③得：⑤ 又，将其代入⑤，得：． 变形得， 即⑥， 由知A为锐角，从而知． ∴由⑥，得：，即，从而，． 因此，△为等腰直角三角形． （2）若，即，此时③④恒成立， 综上，△为直角三角形． 故选：B 二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。 9．已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【点拨】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 10．已知函数，，则（    ） A． B．在区间上只有1个零点 C．的最小正周期为 D．为图象的一条对称轴 【答案】AC 【点拨】将 的解析式化为，然后逐一判断即可. 【详解】 所以，故A正确 令可得，满足的有，故B错误 的最小正周期为，故C正确 当时，，所以不是图象的一条对称轴，故D错误 故选：AC 11．函数，下列结论正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．的图象关于点