专题10 几何问题-2023年新高考数学题型全归纳之排列组合

专题10 几何问题 例1．（2023·全国·高三专题练习）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种， 正方体表面四点共面不能构成四面体有种， 正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有种， 所以可得到的四面体的个数为种， 故选：A 例2．（2023·高二课时练习）一只蚂蚁从正四面体的顶点出发，沿着正四面体的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点，第4秒后又回到点的不同爬行路线有（    ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】B 【解析】根据已知，可作出下图，由图知，不同的爬行路线有7条. 故选：B 例3．（2023·全国·高三专题练习）如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于水平面的正方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有（   ）条 A．40 B．60 C．80 D．120 【答案】B 【解析】蚂蚁从到需要走五段路，其中三纵二竖，共有条路径，从到共有条路径，根据分步计数乘法原理可知，蚂蚁从到可以爬行的不同的最短路径有条，故选B. 考点：分步计数乘法原理. 例4．（1997·全国·高考真题）四面体的一个顶点为A，从其他顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法共有（    ） A．30种 B．33种 C．36种 D．39种 【答案】B 【解析】根据题意，如图， ①当所取的3点在同一个侧面上时，每个侧面上有种取法， 所以共有种不同的取法， ②当所取的3点不在同一个侧面上时， 含顶点的三条棱中，每条棱上有三个点，它们分别与所对的棱的中点共面， 共有3种取法， 综上，共有种不同的取法， 故选：B 例5．（2023·全国·高二专题练习）凸八边形的对角线有（   ）条 A．20 B．28 C．48 D．56 【答案】A 【解析】凸八边形过每一个顶点有5条对角线，故共有条 故选：A 例6．（2023·全国·高三专题练习）一个国际象棋棋盘（由8×8个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）．“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则（　　） A．至多能剪成19块“L”形骨牌 B．至多能剪成20块“L”形骨牌 C．最多能剪成21块“L”形骨牌 D．前三个答案都不对 【答案】C 【解析】考虑2×3的6块方格，如图： ，每一块这样的骨牌含有2块“L”形骨牌 一共可以剪成10块这样的骨牌，和一个田字格，田字格可以剪1块“L”形骨牌，则一共21块“L”形骨牌. 只要将破损的方格所在位置剪成一个恰当的田字格即可，所以一定能够剪成21块“L”形骨牌. 如图所示 故选：C 例7．（2023·全国·高三专题练习）已知分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（    ）个. A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【解析】由结构图知：每个顶点同时在3个面内， 所以五边形面数为个， 故选B. 例8．（2023·高二课时练习）设凸n (n≥3)棱锥中任意两个顶点的连线段的条数为f(n)，则f(n＋1)－f(n)＝(　　) A．n－1 B．n C．n＋1 D．n＋2 【答案】C 【解析】 ,故选C. 例9．（2023秋·辽宁沈阳·高二同泽高中校考阶段练习）在正方体的8个顶点中，任意两点可连成直线，其中异面直线有______对． 【答案】174 【解析】从正方体的8个顶点中任意取出4个顶点，共面的情况有6＋6＝12种， 从正方体的8个顶点取出不在同一平面上的4个顶点，方法种数有－12＝58， 而空间不在同一平面上的4个点，可以组成3对异面直线， 所以在正方体的8个顶点中，任意两点可连成直线，其中异面直线有58×3＝174对． 故答案为：174． 例10．（2023·高二课时练习）已知两条异面直线上分别有个点和个点，则这个点可以确定______个平面． 【答案】 【解析】异面直线与异面直线上的个点中的任意一个点都可以构成一个平面； 异面直线与异面直线上的个点中的任意一个点都可以构成一个平面； 共可以确定个点. 故答案为：. 例11．（2023·全国·高三专题练习）从正四面体的四个面的中心以及四个顶点共八个点中取出四个点，则这四个点不共面的取法总数为___________种. 【答案】 【解析】如图所示，从这八个点中任取四个点，共有种， 其中在正四面体的四个面上的四个点是共面的，共有4种； 因为分别是各个正三