2023届西安交通大学少年班冲刺第一次阶段性联考数学试卷

第 1 页 共 5 页 2023 届西交大少年班冲刺第一次阶段性联考（数学卷） 考试时间：100min 满分 100 分 1. 若方程√𝑘𝑘 − 2𝑥𝑥 = −𝑥𝑥有两个不相等的实数根，则实数𝑘𝑘的取值范围是_________. 2. 如图，在直角三角形𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥中，𝛥𝛥𝛥𝛥 = 𝛥𝛥𝛥𝛥 = 4,𝐸𝐸、𝐹𝐹分别为𝛥𝛥𝛥𝛥、𝛥𝛥𝛥𝛥的中点，𝑃𝑃为 扇形𝛥𝛥𝐸𝐸𝐹𝐹的弧 EF⌒ 上任意一点，连接𝛥𝛥𝑃𝑃、𝛥𝛥𝑃𝑃, 则1 2 𝛥𝛥𝑃𝑃 + 𝛥𝛥𝑃𝑃的最小值为 _______________. 3. 如图 , 抛物线 𝑦𝑦 = 1 2 𝑥𝑥2 − 7𝑥𝑥 + 45 2 与 𝑥𝑥 轴交于点 𝛥𝛥、𝛥𝛥. 记抛物线在 𝑥𝑥 轴及其下方 的 部分为 𝛥𝛥1, 将 𝛥𝛥1 向左平移得到 𝛥𝛥2,𝛥𝛥2 与 𝑥𝑥 轴 交于点 𝛥𝛥、𝐷𝐷. 若直线 𝑦𝑦 = 1 2 𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 与 𝛥𝛥1、𝛥𝛥2 共 有三个不同的交点, 则 𝑚𝑚 的取值范围是_______________. 4. 如图, 菱形 𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝐷𝐷 的顶点分别在反 比例函数 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘1 𝑥𝑥 和 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘2 𝑥𝑥 的图像上. 若 ∠𝛥𝛥𝛥𝛥𝐷𝐷 = 120∘, 则 �𝑘𝑘1 𝑘𝑘2 � =_______________. 第 2 页 共 5 页 5. 已知 𝐷𝐷、𝐸𝐸 分别为等边 △𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥 的边 𝛥𝛥𝛥𝛥、𝛥𝛥𝛥𝛥 上的动点, 且 𝛥𝛥𝐷𝐷 = 𝛥𝛥𝐸𝐸, 联结 𝛥𝛥𝐷𝐷、𝛥𝛥𝐸𝐸, 交于点 𝐹𝐹. 当点 𝐷𝐷 从点 𝛥𝛥 运动到点 𝛥𝛥 时, 点 𝐹𝐹 运动路径的长度为 2√3𝜋𝜋. 则 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =_______________. 6.如图, ⊙𝑂𝑂 为 △ 𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥 的外接圆, ∠𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥 = 45∘,𝛥𝛥𝐷𝐷 ⊥ 𝛥𝛥𝛥𝛥于点 𝐷𝐷, 延长 𝛥𝛥𝐷𝐷, 与 ⊙𝑂𝑂交 于点 𝐸𝐸. 若 𝛥𝛥𝐷𝐷 = 4, 𝛥𝛥𝐷𝐷 = 1, 则弦 𝛥𝛥𝐸𝐸 的长为_______________. 7.若一个四位数与它的各位数字之和为 2026 , 则这个四位数为_______________. 8.在 △ 𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥 中, 已知 𝛥𝛥𝛥𝛥 = 𝛥𝛥𝛥𝛥,∠𝛥𝛥 = 40∘, 𝑃𝑃 为 𝛥𝛥𝛥𝛥 上一点, ∠𝛥𝛥𝛥𝛥𝑃𝑃 = 20∘. 则 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 =_______________. 9.已知实数 𝑥𝑥、𝑦𝑦 满足 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 1. 记 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦4 的最大值、最小值分别为 𝑆𝑆max 、 𝑆𝑆min. . 则 𝑆𝑆max + 𝑆𝑆min = _______________. 第 3 页 共 5 页 10.已知关于 𝑥𝑥 的方程 �𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 1 −�𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 4 + 2�𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 9 = 𝑡𝑡 + 4   (1) 恰有两个实数解. 则 𝑡𝑡 的取值范围是_______________. 11.如图 ,𝛥𝛥𝛥𝛥 为 ⊙𝑂𝑂 的直径, 弦 𝛥𝛥𝐷𝐷与 𝛥𝛥𝛥𝛥 交于点 𝐸𝐸, 过点 𝛥𝛥作圆的切线, 与 𝛥𝛥𝐷𝐷 的延长 线交于点 𝐹𝐹. 若𝛥𝛥𝐸𝐸:𝐷𝐷𝐸𝐸:𝐷𝐷𝐹𝐹 = 4: 3: 3,𝛥𝛥𝛥𝛥 = 24, 求弦 𝛥𝛥𝛥𝛥 的长及sin∠𝛥𝛥𝛥𝛥𝐹𝐹 的值. 12.如图, 四边形 𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝐷𝐷 内接于 ⊙𝑂𝑂, 对角线 𝛥𝛥𝛥𝛥、𝛥𝛥𝐷𝐷 交于点 𝐸𝐸, 延长 𝐷𝐷𝛥𝛥、𝛥𝛥𝛥𝛥, 交于点 𝐹𝐹, 且 ∠𝛥𝛥𝛥𝛥𝐷𝐷 = 60∘,𝐷𝐷𝛥𝛥 = 𝐷𝐷𝐸𝐸. 证明 : ∠𝛥𝛥𝛥𝛥𝐹𝐹 = 2∠𝛥𝛥𝐸𝐸𝐹𝐹. 第 4 页 共 5 页 13.已知关于 𝑥𝑥 的方程 |𝑥𝑥2 + 2𝑝𝑝𝑥𝑥 + 5 − 3𝑝�