专题03 函数-2023年新高考数学考前提分锦囊

专题三 函数 一、考情分析 从近三年的新高考试题来看,函数是高考中的重点与难点,一般有2-3道左右的客观题,考查的热点是函数的性质、指数函数与对数函数、函数的应用、函数与方程、可以是容易题,也可以是难题. 二、三年新高考真题展示 1.（2020新高考山东卷）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天 2.（2020新高考山东卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3．（2021新高考全国卷Ⅰ）已知函数是偶函数,则　1　． 4．（2021新高考全国卷Ⅰ）函数的最小值为　1　． 5. （2021新高考全国卷Ⅱ） 已知,,,则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 6. （2021新高考全国卷Ⅱ）已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则（ ） A. B. C. D. 7. （2021新高考全国卷Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______． ①；②当时,；③是奇函数． 8. （2022新高考全国卷Ⅰ）已知函数及其导函数的定义域均为,记,若,均为偶函数,则 A. B. C. D. 9.（2022新高考全国卷Ⅱ）已知函数的定义域为R,且,则（） A. B. C. 0 D. 1 三、知识、方法、技能 1.函数的概念 设A,B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数. 注意：由函数的概念可知,对于函数f：A→B,满足两个允许、两个不允许： (1)允许多对一,不允许一对多；(2)允许B中有剩余元素,不允许A中有剩余元素. 2.同一函数的判定 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是,函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同,只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)． 3.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数． 4.取整函数 定义： 设,用表示不超过的最大整数.则称为高斯函数,也叫取整函数.显然,的定义域是R,值域是Z.任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即,因此,,这里,为的整数部分,而为的小数部分. 性质： （1）函数是一个分段表达的不减的无界函数,即当时,有； （2）,其中； （3）； （4）若,则其中； （5）对于一切实数有； 5.狄里克雷函数 德国数学家狄里克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一,对数论、数学分析和数学物理有突出贡献,我们称函数,为狄里克雷函数． 6.下面三个问题曾使很多同学困惑,你能解决吗？ ①y=lg(+2x+a)的值域为R,求a的取值范围;（a≤1） ②y=的值域为[0,+∞),求a的取值范围;（a≤1） ③y=的定义域为R,求a的取值范围.（a>2） 7.若所给条件是关于或关于的等式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)． 8.已知函数在一个区间上的解析式,求函数在另一个区间上的解析式,可在待求解析式的区间上任取x,然后找出一个含x的式子,使该式子的范围在已知解析式的区间上,把该式子代入已知解析式,再利用函数性质确定所求解析式. 9.给出解析式确定函数的定义域 给定函数解析式求定义域往往转化为解不等式(组)的问题,在解不等式(组)取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍．注意定义域是一个集合,要用集合或区间表示.常见基本初等函数定义域的基本要求为： (1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零； (3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(5)正切函数y＝tan x,x≠kπ＋(k∈Z)；(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求 1