专题02 不等式-2023年新高考数学考前提分锦囊

专题二 不等式 一、考情分析 高考对不等式的考查有两个方向,一是单独命题,考查热点是不等式的性质与基本不等式,难度中等或中等以下,二是与函数、数列、解析几何、导数等知识交汇考查,一般难度比较大,此类问题考查热点是不等式的解法、证明及均值不等式的应用. 二、三年新高考真题展示 1.（2020新高考山东卷）已知a＞0,b＞0,且a＋b＝1,则（） A. B. C. D. 2．（2021新高考全国卷Ⅰ）已知,是椭圆：的两个焦点,点在上,则的最大值为（） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 3. （2021新高考全国卷Ⅱ）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个,证明：只有一个零点 ① ② 4. （2022新高考全国卷Ⅰ）若集合,则 A. B. C. D. 5. （2022新高考全国卷Ⅰ）设,则 A. B. C. D. 6. （2022新高考全国卷Ⅰ）记为数列的前n项和,已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 7.（2022新高考全国卷Ⅱ）若x,y满足,则 A. B. C. D. 三、知识、方法、技能 1．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a ． (2)传递性：a>b,b>c⇒a>c ． (3)不等式加等量：a>b⇔a＋c>b＋c. (4)不等式乘正量：a>b,c>0⇒ac>bc , 不等式乘负量：a>b,c<0⇒ac<bc ． (5)同向不等式相加：a>b,c>d⇒a＋c>b＋d ． (6)同向不等式相乘：a>b>0,c>d>0⇒ac>bd ． 【解读】 (1)一般数学结论都有前提,不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前,一定要准确把握前提条件,一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件． (2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种,前者一般是证明不等式的理论基础,后者一般是解不等式的理论基础． 2.不等式中的倒数性质： (1) a>b,ab>0⇒＜ (2)a<0<b⇒ (3)a>b>0,0<c<d⇒ (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒ (5)⇒或 3.真分数与假分数的性质 ⇒ 4.利用不等式性质进行命题的判断 (1)首先要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不凭想当然随意捏造性质. (2)解决有关不等式选择题时,也可采用特值法进行排除,注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条(3)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质． (4)在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,判断的同时常常还要用到其他知识,比如对数函数、指数函数的性质等． 5.利用不等式的性质求取值范围的策略 利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形,若多次使用,则有可能使取值范围扩大,解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再一次性地运用这种变形,即可求得正确的待求整体的范围．具体 步骤如下： 由a<f(x,y)<b,c<g(x,y)<d,求F(x,y)的取值范围,可利用待定系数法解决,即设F(x,y)＝mf(x,y)＋ng(x,y)(或其他形式),通过恒等变形求得m,n的值,再利用不等式的同向 6.作差(商)比较法的步骤 (1)作差(商)； (2)变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等； (3)判断符号(判断商和“1”的大小关系)； (4)给出结论． 7. 解一元二次不等式的步骤： 第一步,将二次项系数化为正数； 第二步,解相应的一元二次方程； 第三步,根据一元二次方程的根,结合不等号的方向画图； 第四步,写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正,对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合． 8.对含参的不等式,应对参数进行分类讨论 9.与一元二次不等式有关的恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时,b＝0,c>0；当a≠0时, (2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时,b＝0,c<0；当a≠0时, (3)处理与一元二次不等式有关的恒成立问题常可用分离参数的方法,很多时候都可以减少不必要的讨论,其中：f(x)≤a恒成立⇔a≥f(x)max；f(x)≥a恒成立⇔a≤f(x)min. 注意：解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元,谁是参数．一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数． 10. 分式不等式解法 (1)化分式不等式为标准型．方法：移项,通分,右边化为0,左边化为的