专题08 盘点判断函数单调性的五种方法-备战2023年高考数学二轮复习《方法与题型》讲解专训（新高考专用）

2023高考二轮复习讲与练 专题08 盘点判断函数单调性的五种方法 导数法 盘点判断函数单调性的五种方法 定义法 复合函数法 性质与结论法 图象法 典例讲解 一．导数法 1、设函数f(x)在(a，b)内可导，f′(x)是f(x)的导函数，则 f′(x)>0 f(x)在(a，b)内是单调递增函数 f′(x)<0 f(x)在(a，b)内是单调递减函数 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是常数函数 2．充分、必要条件与导数及函数单调性 (1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件． (2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件． (3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，则f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充要条件． 3、确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 注意：(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． (2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接． (3)函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或f′(x)<0)恒成立，“＝”不能少．必要时还需对“＝”进行检验． 1．(多选)下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　 ) A．y＝sin x B．y＝xex C．y＝x3＋x D．y＝ln x－x 2．已知定义在上的函数满足，对恒有，则的解集为（ ） A． B． C． D． 3．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ） A．在区间（－2，1）上，是增函数 B．当时，取到极小值 C．在区间（1，3）上，是减函数 D．在区间（4，5）上，是增函数 5．设，，．则 (　　) A． B． C． D． 6．已知函数，讨论函数的单调性． 7．已知函数.讨论的单调性. 8．已知函数． (1)记，若对定义域内任意的，恒成立，求实数的范围； (2)试讨论函数的单调性． 二、定义法 1、利用定义法证明函数单调性的步骤 ①取值，即设，是给定区间内的任意两个值，且<. ②作差，即-(或-). ③变形，即通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子. ④判号，即确定-(或-)的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论. ⑤定论，即根据定义得出结论. 其中第③步是关键，在变形中一般尽量将式子化为几个最简因式乘积或商的形式，且其中一定有因式-(或-). 2、常用的变形技巧: ①因式分解：当原函数是多项式函数时，通常作差后进行因式分解.②通分：当原函数是分式函数时，作差后往往先进行通分，然后对分子进行因式分解. ③配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方. ④分子有理化：当原函数是含根式的函数时，作差后往往考虑分子有理化. 3．与函数单调性有关的常用结论 (1)若∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 ①>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在区间D上单调递增． ②<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在区间D上单调递减． 1．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（       ） A． B． C． D． 2、已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　 ) A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c 3．函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．若且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数，都有，则不等式的解集为_________. 6、利用定义证明函数在区间上为减函数。 7、已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，求证：f(x)在R上是减函数； 8．设集合，集合，且满足. （1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值与最小值. 三、图象法 1、如果给出函数图象(或函数的图象能画出)求单调区间，那么只需观察函数的图象，根据