第十三届高二试题（B卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

第十三届“ ”全国数学大赛 题号 一 二 三 总分 17 18 19 20 得分 1． 已知不等式 2 2 3 0 高二年级 B 卷 - 1 - x x− − < 的整数解构成等差数列{ }na 的前三项，则数列{ }na 的第四项为（ ）． A．3 B． 1− C．2 D．3或 1− 2． 命题 1 1: sin tan (0 ) tan sin 4 p πθ θ θ θ θ − = − < < 无实数解，命题 1 1: ln ln x xq e xx e + = + 无实数解．则下列命题为假命题的是（ ）． A． p q或 B． ( ) ( )p q¬ ¬或 C． p q且 D． ( )p q¬且 3． 设集合 { }( , ) ( , ) 0M x y F x y= = 为平面坐标系 xOy 内的点集，若对于任意 1 1( , )x y M∈ ，存在 2 2( , )x y M∈ ，使得 1 2 1 2 0x x y y+ < ，则称点集 M 满足性质 P． 给出下列四个点集： ① { }( , ) sin 1 0R x y x y= − + = ；② { }( , ) ln 0S x y x y= − = ； ③ { }2 2( , ) 1 0T x y x y= + − = ；④ { }( , ) 1 0W x y xy= − = ．其中所有满足性质 P 的点集的序号是（ ）． A．①② B．②③ C．①②③ D．③④ 4． 已知点 P 在直线 3 2 0x y+ − = 上，点 Q 在直线 3 6 0x y+ + = 上，线段 PQ 的中 点为 M(x0，y0)，且 y0<x0+2，则 0 0 y x 的取值范围是（ ）． A． 1[ ,0) 3 − B． 1( ,0) 3 − C． 1( , ) 3 − +∞ D． 1( , ) (0, ) 3 −∞ − +∞ 5． 设直线 l1，l2 分别是函数 ln ,0 1, ( ) ln , 1 , x x f x x x − < < =  > 图象上点 P1，P2 处的切线， l1 与 l2 垂直相交于点 P，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A，B，则△ PAB 的面 积的取值范围是（ ）． A．(0,1) B．(0,2) C．(0,+ ∞ ) D．(1,+ ∞ ) 得分 评卷人 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 高二年级试题（B 卷） （时间：120 分钟 满分：150 分） 高二年级 B 卷 - 2 - 6． 如图所示，在空间四边形 ABCD中，两条棱 ,AC BD 互相垂直，且 长度分别为 4和 6，平行于这两条对角线的平面与边 , , ,AB BC CD DA 分别相交于点 E，F，G，H，记四边形 EFGH 的面积为 y，设 BE x AB = ，则（ ）． A．函数 ( )y f x= 的值域为 ( ]0,4 B．函数 ( )y f x= 满足 ( ) (1 )f x f x= − C．函数 ( )y f x= 在 20, 3       上单调递减 D．函数 ( )y f x= 的最大值为 8 7． 设定义在 (0,+∞) 的单调函数 ( )f x ，对任意的 (0, )x∈ +∞ 都有 [ ]2( ) log 3f f x x− = ，若方程 f(x)+f'(x)=a 有两个不同的实数根，则实数 a的取值范围为（ ）． A．(0,+ ∞ ) B． 1(2 , ) ln 2 + +∞ C． 1(3 , ) 2 ln 2 − +∞ D．(3,+∞) 8．设 0x 为函数 ( ) sinf x xπ= 的零点，且满足 0 0 1( ) 33 2 x f x+ + < ，则这样的零点有（ ）． A．61个 B．63个 C．65个 D．67个 9．若实数 ,x y 满足 1 14 4 2 2x y x y+ ++ = + ，则 2 2x yt = + 的取值范围是 _________． 10．已知正项数列{ }na 满足 1 22, 1a a= = ，且 1 1 2n n n n a a a a+ − + = ，则 2017a =_________． 11． 设 ,a b   为非零向量， 2b a=   ，两组向量 1 2 3 4, , ,x x x x     和 1 2 3 4, , ,y y y y     均由 2 个 a和 2 个 b  排列 而成．若 1 1 2 2 3 3