第十二届高二试题（A卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

高二年级 A卷-1 1 2 5 2 2 2 2 1, 2 2 22, 2 12, 2 2 1, 4 4 10 8 c  第十二届“ ”全国数学大赛 高二级试题(A卷) ( 时间：120分钟 满分：150分 ) 题号 一 二 三 总分 17 18 19 20 得分 一、选择题(每小题 5分，共 40 分) 1.已知 1a  ， 2 2( ) x xf x a  ，则使 ( ) 1f x  成立的一个充分不必要条件是（ ）. A. 1 0x   B. 2 1x   C. 2 0x   D. 0 1x  2.已知函数 ( )y f x 既是二次函数又是幂函数，函数 ( )y g x 的图象与函数 xy e 的图 象关于直线 y x 对称.若直线 2 ( )x t t R  与函数 ( )y f x 的图象和函数 ( )y g x 的图象的交点分别为 ,P Q，则当 PQ 达到最小时， t的值为（ ）. A.1 B. C. D. 3.已知长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1 2AA AB  ，若棱 AB上存在点 P，使得 1 ,D P PC AD 则 的取值范围是（ ）. A. 1,2 B. 1, 2 C.  0,1 D.  0,2 4.设两条直线的方程分别为 0, 0x y a x y b      ，已知 ,a b是方程 2 0x x c   的 两个实根，且 ，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）. A. B. C. D. 5.过点 (23, 2)A 作圆 2 2( 1) ( 2) 625x y    的弦，其中弦长为整数的条数为（ ）. A.36 B.37 C.72 D.74 6.已知集合    21,2,3 , 0, ,A B x R x ax b a A b A        ，则 A B B 的概率 是（ ）. A. 2 9 B. 1 3 C. 8 9 D. 1 高二年级 A卷-2 1 ,1 2      2 2 ,1 2       1 1 2, 2 2       1 2 1 2, 2 2        5 103 5 18 5 16 5 12 2 1 1 ( ) a ab a a b    1 2( 7) n n n ab n a     1 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) , ( )f b f a f b f af x f x b a b a       3 21( ) 3 f x x x a   7.在直角 ABC 中， 90 , 1,BCA CA CB P    为 AB 边上的点，且 AP AB   ，若CP AB PA PB       ， 则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 8.已知 3,ln3lnln  bdca ，则 22 )()( cdba  的最小值为（ ）. A. B. C. D. 二、填空题:（每小题 6 分，共 48 分） 9. 设 0a b  ，则 的最小值为 . 10. 棱长为 2的正四面体 ABCD在空间直角坐标系中移动，但保持点 ,A B分别在 x轴， y轴上移动，则原 点O到直线CD的最近距离为 . 11. 已知函数 3( ) sin 3 4( , ), ( )f x a x bx a R b R f x     为 ( )f x 的导函数， 则 (2016) ( 2016) (2015) ( 2015)f f f f      = . 12.设 na 是  1 nx 的展开式中 x项的系数（ 2,3, 4,n  ），若 ，则 nb 的最大值是_______. 13. 定义：曲线C上点到直线 l的距离的最小值称为曲线C到 l的距离.已知曲线 21 :C y x a  到直线 :l y x 的距离等于曲线 2 22 : ( 4) 2C x y   到直线 :l y x 的距离，则实数a __________. 14. 执行如图所示的程序框图，如果输入 x， t的值均为 2，最后输出 S的值 为n，在区间 0,10 上随机选取一个数 D，则D n 的概率为 . 15. ABC 的顶点 A在抛物线 2 4y x 上，点 B,C 在直线 2 5 0x y   上， 若 2 5AB AC    ，则 ABC 面积的最小值为 . 16. 定义：