第十一届高二试题（A卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

第十一届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题（A卷）参考答案 1、 选择题(每小题5分，共40分) 1A 2.C 3.A. 4 .B 5.A 6.C 7.B 8.B 二、填空题(每小题6分，共48分) 9.－2≤m＜－1. 10．5 11.25 12. 13. 14. 15. 4 16. 三、解答题(17、18题每题14分，19题16分，20题18分，共62分) 17.解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为 . (2) 由题意知某两人可获得优惠金额的可能取值为400，500，600，700，800，1000. ，， ，， 综上可得的分布列为： 400 500 600 700 800 1000 的数学期望. 18.解：（1）证明：建立空间直角坐标系如图所示： 则 (2)由题意知： 平面的一个法向量为， 19.（1）不妨设，设椭圆 由已知，解得 所以椭圆方程为 （2）由动点满足知，在椭圆上， ， 曲线是圆心在原点，半径为的圆，圆心到直线的距离 ，直线与曲线有2个公共点 设直线截曲线所得弦长为 ，则 直线截曲线所得弦长 20.解：（1）的定义域为，， 由，得. 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减 （2）①当，即时，在上单调递增，所以 . ②当时，在上单调递减，所以 . ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以 . （3）由（Ⅰ）知，当时，，所以在上，恒有 ，即且当时等号成立. 因此，对，恒有. 因为，，所以，即， 所以. 即对，不等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(A卷) (时间：120分钟 满分：150分) 题号 一 二 三 总分 17 18 19 20 得分 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．已知，若的必要条件是，则之间 的关系是( )． A．≥ B．＜ C．≤ D．＞ 2．已知等差数列的前项和为，又知，且，， 则的值为( )． A．33 B．46 C．48 D．50 3．设，则二项式的展开式中含项的系数是( )． A． B． C． D． 4．有5本不同的书，其中语文书有2本，数学书有2本，物理书有1本，若将其随机地并排 摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )． A． B． C． D． 5．已知双曲线的右焦点为，以原点为圆心，为半径的圆 与双曲线在第二象限的交点为点A，若此圆在点A处的切线的斜率为，则该双曲线的 离心率为( )． A． B． C． D． 6．棱长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，点、分别是棱的中点，则 过点、的直线被球截得的线段长为( )． A． B． C． D． 7．已知A、B、C三点在曲线y=上，其横坐